Ένα άθροισμα!

#1

Πρόκειται για κλασική τεχνική.

Να υπολογιστεί το άθροισμα

$\displaystyle{\color{red}\boxed{ \color{black}\rm S=\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}.}}$

Tolaso J Kos · #2

matha έγραψε:Πρόκειται για κλασική τεχνική.

Να υπολογιστεί το άθροισμα

$\displaystyle{\color{red}\boxed{ \color{black}\rm S=\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}.}}$

Θάνο δε ξέρω τι λύση έχεις κατά νου, αλλά θα μπορούσε το ακόλουθο να 'ναι μια απάντηση;

Από το διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε $\displaystyle{\left ( 1+x \right )^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k }$ . Έστω $\omega = e^{2i \pi /3}$ . Τότε:

$\displaystyle{(1+1)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}1^k , \;\;\; (1+\omega)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}\omega^k, \;\; \; (1+\omega^2)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}\omega^{2k}}$

Προσθέτοντας τις τρεις εξισώσεις παίρνουμε: $\displaystyle{\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}(1+\omega^k+\omega^{2k}) = 2^n+(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n}$ .

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{1+\omega^k+\omega^{2k} = 3}$ αν το

διαρείται με το

και

διαφορετικά. Συνεπώς βγαίνει το συμπέρασμα:

$\displaystyle{\sum_{m = 0}^{\lfloor n/3 \rfloor}\dbinom{n}{3m} = \dfrac{1}{3}\left[2^n+(1+\omega)^n+(1+\omega^2)^n\right]}$ .

Θέτοντας $n \mapsto 3n$ βγάζουμε: $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}= \frac{1}{3}\left [ 8^n + \left ( 1+\omega \right )^{3n}+ \left ( 1+\omega^2 \right )^{3n} \right ]}$ που μετά τις απλές πράξεις δίδει:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}= \frac{1}{3}\left [ 8^n + 2(-1)^n \right ]}$

Ελπίζω να μη μου χει ξεφύγει κάτι.

#3

matha έγραψε:Πρόκειται για κλασική τεχνική.

Να υπολογιστεί το άθροισμα

$\displaystyle{\color{red}\boxed{ \color{black}\rm S=\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}.}}$

Από το ανάπτυγμα του διωνύμου έχουμε $\displaystyle{S=\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{k} x^k=(1+x)^{3n}}}$

Έστω $\omega$ μιγαδική κυβική ρίζα της μονάδας, οπότε $\omega ^3=1$ και $1+ \omega + \omega ^2=0$ . Θέτοντας διαδοχικά $x=1, x= \omega, x = \omega ^2$ και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

$\displaystyle{S=\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{k} ( 1 + \omega ^k + \omega ^{2k})=(1+1)^{3n} + (1+ \omega) ^{3n} + (1+ \omega ^2) ^{3n} }, \, ~(*)}$

Αλλά για
α) k = 3K

είναι $1 + \omega ^k + \omega ^{2k}= 1 + \omega ^{3K} + \omega ^{6k}= 1+1+1=3$ ,
β) k=3K+1

είναι $1 + \omega ^{3K+1} + \omega ^{3K+2}= 1 + \omega + \omega ^{2}= 0$ ,
γ) k=3K+2

είναι $1 + \omega ^{3K+2} + \omega ^{3K+4}= 1 + \omega ^2 + \omega = 0$ .

Οπότε στο άθροισμα (*)

πολλοί όροι μηδενίζονται αλλά εξαιρούνται εκείνοι που αντιστοιχούν στα k=3K

. Μένει

$\displaystyle{S=3\sum_{K=0}^{n}\binom{3n}{3K} =(1+1)^{3n} + (1+ \omega) ^{3n} + (1+ \omega ^2) ^{3n} }, \, ~(*)}$ και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit. Με πρόλαβαν. Το αφήνω για τον κόπο.

Tolaso J Kos · #4

Θάνο, να δούμε και το πιο εύκολο άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}}$ ;

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Θάνο, να δούμε και το πιο εύκολο άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}}$ ;

Ίδιας φιλοσοφίας, αλλά όντως απλούστερο, αφού δεν γίνεται χρήση μιγαδικών.

Στην ταυτότητα

$\displaystyle{(1+x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^k}$

θέτουμε διαδοχικά $\displaystyle{x=1,x=-1}$

οπότε προκύπτουν οι σχέσεις

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}=2^{2n},~\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}(-1)^k=0}$

Με πρόσθεση αυτών στο αριστερό μέλος εμφανίζεται το διπλάσιο του αθροίσματος, άρα

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}=2^{2n-1}.}$

#6

Tolaso J Kos έγραψε:Θάνο, να δούμε και το πιο εύκολο άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k}}$ ;

Και αλλιώς. Από τα υποσύνολα του $\{1,2,...,2n\}$ που είναι $2^{2n}$ διαλέγουμε μόνο τα υποσύνολα που έχουν άρτιο πλήθος στοιχείων, που είναι τα μισά, άρα
$2^{2n-1}.$

Ένα άθροισμα!

Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!

Μέλη σε σύνδεση