Ανισότητα με κυβικές ρίζες

#1

Για όλους τους θετικούς πραγματικούς a, b, c, x, y, z

να αποδείξετε ότι

$\sqrt[3]{a(b+1)yz} +\sqrt[3]{b(c+1)zx} +\sqrt[3]{c(a+1)xy} \leq \sqrt[3]{(a+1) (b+1)(c+1)(x+1)(y+1)(z+1)}$

#2

smar έγραψε:Για όλους τους θετικούς πραγματικούς να αποδείξετε ότι

$\sqrt[3]{a(b+1)yz} +\sqrt[3]{b(c+1)zx} +\sqrt[3]{c(a+1)xy} \leq \sqrt[3]{(a+1) (b+1)(c+1)(x+1)(y+1)(z+1)}$

Θέτουμε $A=\dfrac{a}{a+1},$ $B=\dfrac{b}{b+1},$ $C=\dfrac{c}{c+1},$ $X=\dfrac{x}{x+1},$ $Y=\dfrac{y}{y+1},$ $Z=\dfrac{z}{z+1}.$

Αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{A(1-C)(1-X)YZ} +\sqrt[3]{(1-A)BX(1-Y)Z} +\sqrt[3]{(1-B)CXY(1-Z)} \leq 1}}$

ή

$\displaystyle{\sqrt[3]{AZ(Y-CY)(1-X)} +\sqrt[3]{BX(Z-AZ)(1-Y)} +\sqrt[3]{CY(X-BX)(1-Z)} \leq 1}$

Από την ανισότητα Hölder αρκεί

$\displaystyle{\sqrt[3]{(AZ+BX+CY)(X+Y+Z-AZ-BX-CY)(3-X-Y-Z)}} \leq 1}$

που είναι συνέπεια της ΑΜ-ΓΜ.

Ανισότητα με κυβικές ρίζες

Ανισότητα με κυβικές ρίζες

Re: Ανισότητα με κυβικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση