Έστω έλλειψη σε σύστημα αξόνων x0y.Θεωρούμε από την αρχή των αξόνων διερχόμενες δύο ευθείες που η μία τέμνει την έλλειψη, έστω στα σημεία Κ,Λ και η άλλη στα σημεία Μ, Ν. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο που το κέντρο του να βρίσκεται στον άξονα Οx και οι πλευρές του τετράπλευρου αυτού να διέρχονται από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν ένα,τουλάχιστον, από τα οποία να είναι μέσο της πλευράς του τετράπλευρου που ανήκει.
** Τελικά η υπέρβαση είναι δύσκολη υπόθεση.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Ας κάνω μία υπόδειξη, αφού προηγούμενα αναφέρω ότι το πρόβλημα αυτό το κατασκεύασα μετά το γνωστό θεώρημα που έφεραν στην επιφάνεια οι συνάδελφοι
Θάνος Μάγκος και Μπάμπης Στεργίου που λέει ότι: Σε τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο τα μέσα των διαγώνιων και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι συνευθειακά σημεία.
Άρα αρκεί να Χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της έλλειψης βάζοντας στο παιχνίδι και τις εστίες της.
Υπενθυμίζω ότι μία ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα κυρτό τετράπλευρο να είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο είναι το άθροισμα των δύο απέναντι πλευρών του να ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων απέναντι πλευρών του.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Ας θεωρήσουμε κυκλικά και αντίθετα από τους δείκτες τα Κ, Ν, Λ, Μ τα σημεία της έλλειψης και Ε η αριστερή εστία , Ε΄ η δεξιά εστία . Κατανοούμε ότι: KE+KE'=NE+NE'=ΛΕ+ΛΕ'=ΜΕ+ΜΕ'. Αρκεί ,λοιπόν, από το Κ να θεωρήσουμε παράλληλη στην Ε΄Μ, από το Λ παράλληλη στην ΕΜ, από το Μ παράλληλη στην ΚΕ΄ και από το Ν παράλληλη στην ΚΕ. Αυτές οι παράλληλες τεμνόμενες στα έστω στα σημεία Α, Β, Γ, Δ δημιουργούν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Είναι πλέον γεγονός ότι οι εστίες είναι μέσα των διαγώνιων του ΑΒΓΔ που είναι περιγραμμένο σε κύκλο αφού έχουμε ΑΒ+ΔΓ=ΑΔ+ΒΓ(=2(ΚΕ+ΚΕ΄)). Ταυτόχρονα από το θεώρημα που ανάφερα στην υπόδειξη (Θάνος+Μπάμπης) το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου θα βρίσκεται στην ευθεία ΕΕ΄.
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
σε σύστημα αξόνων x0y.Θεωρούμε από την αρχή των αξόνων διερχόμενες δύο ευθείες που η μία τέμνει την έλλειψη, έστω στα σημεία Κ,Λ και η άλλη στα σημεία Μ, Ν. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο που το κέντρο του να βρίσκεται στον άξονα Οx και οι πλευρές του τετράπλευρου αυτού να διέρχονται από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν ένα,τουλάχιστον, από τα οποία να είναι μέσο της πλευράς του τετράπλευρου που ανήκει.