Κι άλλη θεωρία αριθμών!

nickthegreek · #1

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί

ώστε ο αριθμός -5^4+5^5+5^n

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Το ίδιο για τον 2^4+2^7+2^n

Ιστοσελίδα · #2

Για $n\leq 5$ μπορούμε να ελέγξουμε ότι ο αριθμός γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο μόνο όταν n=5

.
Για

έχουμε $-5^4+5^5+5^n=5^4(4+5^{n-4})$ .
Αν ο αριθμός γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο θα είναι $4+5^{n-4}=a^2$ , όπου

θετικός ακέραιος.
Τότε $5^{n-4}=(a-2)(a+2)$ με συνέπεια $(a-2)\equiv 0\mod5 \;, \; (a+2)\equiv 0\mod5$ .
Τότε $4\equiv 0\mod5$ , άτοπο.

Για $n\leq 7$ μπορούμε να ελέγξουμε ότι ο αριθμός δεν γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο.
Για n>7

είναι $2^4+2^7+2^n=2^4(9+2^{n-4})$ .
Θα δούμε πότε έχουμε $9+2^{n-4}=a^2$ , όπου

θετικός ακέραιος.
Δηλαδή $2^{n-4}=(a+3)(a-3)$ . Για n=8 , a=5

ισχύει η ισότητα.
Για n>8

θα είναι $a+3=2^r \; , \; a-3=2^s$ , με r>s

.
Τότε $2\cdot 3=6=2^r-2^s=2^s(2^{r-s}-1)$ . Άρα s=1 , r=3

άτοπο.

Κι άλλη θεωρία αριθμών!

Κι άλλη θεωρία αριθμών!

Re: Κι άλλη θεωρία αριθμών!

Μέλη σε σύνδεση