Σταθερή συνάρτηση

#1

Από παλιό Ρουμάνικο Διαγωνισμό (Προς το παρόν δεν έχω δώσει λύση)

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα

$2^{1+f(x+1)} \ge 2^{f(x)}+2^{f(x+2)}, \forall x \in \mathbb{R}$

Αν υπάρχει το $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ , να αποδείξετε ότι η

είναι σταθερή

#2

s.kap έγραψε: Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα

$2^{1+f(x+1)} \ge 2^{f(x)}+2^{f(x+2)}, \forall x \in \mathbb{R}$

Αν υπάρχει το $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ , να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή

Ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα, ίσως χρήσιμο:

Από Α.Μ.-Γ.Μ. είναι $2^{1+f(x+1)} \ge 2^{f(x)}+2^{f(x+2)}\ge 2 \sqrt{2^{f(x)}\cdot2^{f(x+2)}} = 2^{1+\frac{1}{2}({f(x)}+f(x+2))}$ , άρα

$2f(x+1)} \ge f(x)}+f(x+2)$ .

Από αυτήν αναδρομίκά έχουμε

$2f(x+1)} \ge f(x)}+f(x+2)$
$2f(x+2)} \ge f(x+1)}+f(x+3)$
$2f(x+3)} \ge f(x+2)}+f(x+4)$
....
$2f(x+n+1)} \ge f(x+n)+f(x+n+2)$

που με πρόσθεση κατά μέλη δίνει

$f(x+1)} + f(x+n+1)} \ge f(x)+f(x+n+2)$

Παίρνοντας όριο του

τείνοντος στο άπειρο (από την υπόθεση για ύπαρξη του ορίου) για κάποιο

είναι

$f(x+1)} + c \ge f(x)+c$ , οπότε $f(x+1)} \ge f(x)$

Δεν ξέρω να προχωρήσω και επειδή είναι πολύ αργά και είμαι από ταξίδι, σταματώ εδώ.

Μ.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δεν ξέρω να προχωρήσω και επειδή είναι πολύ αργά και είμαι από ταξίδι, σταματώ εδώ.

ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΑΘΟΣ, ΟΠΟΤΕ ΑΠΟΣΥΡΩ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΜΕΧΡΙ ΕΠΙΔΙΟΡΘΩΣΗΣ.

Τα παραπάνω φαίνονται σωστά αλλά από κει και πέρα πιστεύω ότι η άσκηση είναι λάθος. Το παρακάτω (σωστό μου φαίνεται) είναι αντιπαράδειγμα.

Θα εργαστούμε πρώτα με

ορισμένη στο $[0, \infty)$ και μετά θα επεκτέινουμε σε όλο το $\mathbb R$ .

Για $x \in [0, \infty)$ θέτουμε $f(x) = \frac{x}{x+1}$ .

Για

θετικό ισχύει $\frac{x+1}{x+2} \ge \frac{1}{2}\left( \frac{x}{x+1}+ \frac{x+2}{x+3} \right )$ (ισοδυναμεί με την $1-\frac{1}{x+2} \ge \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{x+1}+ 1-\frac{1}{x+3} \right )$ ή $\frac{1}{x+2} \le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{x+3} \right )$ ή $(x+1)(x+3) \le (x+2)^2$ που ισχύει). Οπότε, επειδή η 2^x

είναι αύξουσα έχουμε

$\displaystyle{2^ {\frac{x+1}{x+2}} \ge 2^{\frac{1}{2}\left( \frac{x}{x+1}+ \frac{x+2}{x+3} }\right)}$ (*). Αλλά η 2^x

στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, οπότε $\displaystyle{ 2^{\frac{1}{2}\left( \frac{x}{x+1}+ \frac{x+2}{x+3} \right)}\ge \frac {1}{2} \left(2^{\frac{x}{x+1}} + 2^{ \frac{x+2}{x+3}} \right )}$ (**).

Οι (*), (**) δίνουν $\displaystyle{2^ {\frac{x+1}{x+2}} \ge \frac {1}{2} \left(2^{\frac{x}{x+1}} + 2^{ \frac{x+2}{x+3}} \right )}$ με άλλα λόγια

$2^{1+f(x+1)} \ge 2^{f(x)} + 2^{f(x+2)}$ , που είναι η δοθείσα.

Επίσης το όριο $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)$ υπάρχει (προφανώς

).

Μένει να επεκτείνουμε την

σε όλο το $\mathbb R$ , αλλά αυτό είναι απλό. Όπως στο σχήμα, για x<0

θέτουμε $f(x) = \log _2(1+2x\ln 2)$ έτσι ώστε η $2^{f(x)}$ να είναι ευθεία (= $1+2x\ln 2$ ) με κλίση μεγαλύτερη από την κλίση (= $\ln 2$ ) στο 0 της καμπύλης δεξιά του 0. Εύκολα βλέπουμε (γεωμετρικά είναι φανερό) ότι η

αυτή ικανοποιεί την δοθείσα συναρτησιακή σχέση.

Όμως η

δεν είναι σταθερή και έχουμε αντιπαράδειγμα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Δεν αμφιβάλω ότι θα υπάρχει απλή

που να ορίζεται απευθείας σε όλο το $\mathbb R$ . O λόγος που έβαλα δίκλαδη είναι γιατί όποιο παράδειγμα εὐρισκα, είτε η απόδειξη της κυρτότητας δεξιά του 0 γινόταν δύσκολη και αριστερά εύκολη, είτε το ανάποδο. Δεν είχα παράδειγμα για ενιαία απόδειξη, αλλά με τον φόρτο που έχω θα με δικαιολογήσετε που δεν έψαξα παραπάνω.

#4

Μια λύση: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5#p2176035

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση