Ανισότητα από το Crux!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

matha: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 6428; Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα από το Crux!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Φεβ 08, 2011 4:06 pm

Αν $\displaystyle{x,y,z>0}$ με $\displaystyle{xyz\geq 10+6\sqrt{3}}$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{y}{x+y^3+z^2}+\frac{z}{y+z^3+x^2}+\frac{x}{z+x^3+y^2}\leq \frac{1}{2}.}$

Μάγκος Θάνος

silouan: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 1434; Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανισότητα από το Crux!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Φεβ 09, 2011 2:42 pm

Από Cauchy-Swartz έχουμε $(x+\frac{1}{y}+1)(x+y^3+z^2)\geq (x+y+z)^2$

Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι $2(x+y+z+xy+yz+zx+3)\leq (x+y+z)^2$

Όμως $xy+yz+zx\leq\frac{(x+y+z)^2}{3}$ . Άρα αρκεί

$6(x+y+z)+2(x+y+z)^2+18\leq 3(x+y+z)^2$ ή $(x+y+z-3)^2\geq 27$

Η τελευταία ισχύει αφού $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3(\sqrt{3}+1)$

Σιλουανός Μπραζιτίκος

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης