Μη σταθερή συνάρτηση f

#1

Καλημέρα...

---------------------
Αν για τη μη σταθερή συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to \mathbb R$ και για τους a,b>0

ισχύει ότι : $f(ax\cdot by)=af(x)+bf(y),\,\forall x,y>0 ,\fbox 1$
να δείξετε ότι f(1)=0

Δώστε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

G.Tsikaloudakis · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

k-ser · #3

Φωτεινή έγραψε: Αν για τη μη σταθερή συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to \mathbb R$ και για τους ισχύει ότι : $f(ax\cdot by)=af(x)+bf(y),\,\forall x,y>0 ,\fbox 1$
να δείξετε ότι
Δώστε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

Για $\displaystyle x=1: \ \ f(aby)=af(1)+bf(y) \ \ \forall y>0 \ \ (1)$
Για $\displaystyle y=1: \ \ f(abx)=af(x)+bf(1) \ \ \forall x>0 \ \ (2)$
Από $\displaystyle (1),(2)$ και για $\displaystyle x=y$ προκύπτει: $\displaystyle (a-b)\left(f(x)-f(1)\right)=0 \ \ \forall x>0$ και εφόσον η συνάρτηση δεν είναι σταθερή θα πρέπει $\displaystyle a=b$ .

Άρα για την συνάρτηση ισχύει: $\displaystyle f(a^2xy)=af(x)+af(y) \ \ \forall x,y>0 \ \ (3)$ .

Για $\displaystyle x=y=\frac{1}{a}$ από την $\displaystyle (3)$ : $\displaystyle 2af\left(\frac{1}{a}\right)=f(1) \ \ (4)$
Για $\displaystyle x=\frac{1}{a}, y=1$ από την $\displaystyle (3)$ : $\displaystyle f(a)-af\left(\frac{1}{a}\right)=af(1) \ \ (5)$ .
Για $\displaystyle x=y=1$ από την $\displaystyle (3)$ : $\displaystyle f(a^2)=2af(1)$ ενώ Για $\displaystyle x=a, y=\frac{1}{a}$ από την $\displaystyle (3)$ : $\displaystyle f(a^2)=a\left(f(a)+f\left(\frac{1}{a}\right)\right)$ . Από τις δύο τελευταίες έχουμε: $\displaystyle f(a)+f\left(\frac{1}{a}\right)=2f(1) \ \ (6)$ .

Ακόμη στην $\displaystyle (3)$ και για $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ : $\displaystyle f(a^2)=a\left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ και εφόσον $\displaystyle f(a^2)=2af(1)$ έχουμε
$\displaystyle 2f(1)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) \ \ (7)$ .

Από τις $\displaystyle (5),(6)$ , προκύπτει: $\displaystyle f(a)=\frac{3a}{a+1}$ και $\displaystyle f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{2-a}{a+1}$ και με τη βοήθεια της $\displaystyle (4)$ : $\displaystyle f(1)(2a^2-3a+1)=0$
Οπότε: $\displaystyle f(1)=0$ ή $\displaystyle a=1$ ή $\displaystyle a=\frac{1}{2}$ .

Αν $\displaystyle a=1$ τότε από την $\displaystyle (4)$ είναι $\displaystyle f(1)=0$ .

Αν $\displaystyle a=\frac{1}{2}$ τότε από τις $\displaystyle f(a)=\frac{3a}{a+1}$ και $\displaystyle f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{2-a}{a+1}$ θα είναι $\displaystyle f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)$ και με την βοήθεια της $\displaystyle (4)$ : $\displaystyle f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ .
Από την $\displaystyle f(a^2)=a\left(f(a)+f\left(\frac{1}{a}\right)\right)$ θα είναι και $\displaystyle f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ και από την $\diplaystyle (7): \ \ \ f(4)=0$
Από την $\displaystyle (3)$ για $\displaystyle x=4$ προκύπτει: $\displaystyle f(y)=\frac{1}{2}f(y)\Rightarrow f(y)=0 \ \ \forall y>0$ το οποίο είναι αντίθετο με την υπόθεση.
Άρα δεν μπορεί $\displaystyle a=\frac{1}{2}$

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι δεν μπορεί $\dispalystyle a\ne 1$

Τελικά, η αρχική σχέση ισχύει μόνο αν $\displaystyle a=b=1$ και μία συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση είναι η $\displaystyle f(x)=lnx, x>0$ .

#4

Eίναι:

$f(x)=f(ax\cdot b\frac{1}{ab})=af(x)+bf(1/ab)\Rightarrow f(x)(a-1)=af(1/ab)$

Από εδώ, αφού η συνάρτηση δεν είναι σταθερή το α=1, γιατί διαφερετικά λύνουμε και βρίσκουμε f(x)=const. Ομοίως και β=1 και η τελευταία ισότητα δίνει 0=f(1)

k-ser · #5

rek2 έγραψε:Eίναι:

$f(x)=f(ax\cdot b\frac{1}{ab})=af(x)+bf(1/ab)\Rightarrow f(x)(a-1)=af(1/ab)$

Από εδώ, αφού η συνάρτηση δεν είναι σταθερή το α=1, γιατί διαφερετικά λύνουμε και βρίσκουμε f(x)=const. Ομοίως και β=1 και η τελευταία ισότητα δίνει 0=f(1)

Κώστα.... πρέπει να διαγράψω τη λύση μου!

....Μάλλον θα την αφήσω: κάνει ωραία αντίθεση με τη δική σου!

#6

k-ser έγραψε: ....Μάλλον θα την αφήσω: κάνει ωραία αντίθεση με τη δική σου!

Κώστα (k-ser) ασφαλώς θα την αφήσεις γιατί λύση του Κώστα (rek2) βρίσκει μεν το f(1)

αλλά δεν βρίσκει το f(x)

.

Μπορούμε βέβαια να την συνεχίσουμε γιατί η αρχική γίνεται f(xy)=f(x)+f(y)

(*) που είναι γνωστή.

Ένας τρόπος: Θέτω F(x)=f(e^x)

οπότε η (*) γίνεται $F(x+y)=f(e^{x+y})=f(e^xe^y)=f(e^x)+f(e^y)=F(x)+F(y)$ που είναι η Cauchy. Μία λύση είναι η F(x)=x

και άρα $f(x)= \ln x$ , αλλά υπάρχουν άπειρες το πλήθος συνεχείς λύσεις και άλλες τόσες ασυνεχείς.

Φιλικά,

Μιχάλης

k-ser · #7

Μιχάλη, χρήσιμη η παρατήρησή σου.
Θα μπορούσε η άσκηση να ζητήσει και τις συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν τα δεδομένα, οπότε η απάντηση θα ήταν:
οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=klnx, \ \ x>0$ για τις διάφορες τιμές του μη μηδενικού πραγματικού αριθμού $\displaystyle k$ .

#8

καλησπέρα..σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας ,γράφω αυτή που διάβασα

για τους x,y,a,b>0

$\bullet \quad f(ax\cdot by)=af(x)+bf(y)$

$\bullet \quad f(bx\cdot ay)=bf(x)+af(y)$

$\Rightarrow (a-b)f(x)=(a-b)f(y)$

${\color{red}\bullet} \quad \alpha\nu \,\,\ a\neq b$ τότε $f(x)=f(y),\forall x,y>0 \rightarrow f(x)=c$ ,άτοπο από υπόθεση

${\color{red}\bullet} \quad \alpha\rho\alpha \,\,\,\ a=b$ και η δοθείσα γράφεται: $f(a^2xy)=af(x)+af(y),\,x,y>0$

η τελευταία για $\displaystyle x>0,y=\frac{1}{a^2}\rightarrow (1-a)f(x)=af(\frac{1}{a^2}),x>0$

${\color{red}\bullet} \quad \alpha\nu \,\,\ \displaystyle a\neq 1 \rightarrow f(x)=\frac{a}{1-a}f(\frac{1}{a^2}),\,\,x>0\rightarrow f(x)=c$ ,άτοπο

${\color{red}\bullet}$ επομένως $a=1\rightarrow f(1)=0$

${\color{red}\bullet}$ αλλά με $a=1\rightarrow f(xy)=f(x)+f(y),\,\forall x,y>0$ επαληθεύεται από την $f(x)=\ln x,x>0$

Μη σταθερή συνάρτηση f

Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Re: Μη σταθερή συνάρτηση f

Μέλη σε σύνδεση