Ανισότητα με ακολουθία

#1

Δίνεται η ακολουθία $\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ τέτοια ώστε a_1=2

και $a_n=1+a_1a_2...a_{n-1}, \ n\geq 2$ .

Να δείξετε ότι $\displaystyle {\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}<1}$ , για κάθε $n\geq 1$ .

Μπορεί να βελτιωθεί η παραπάνω ανισότητα (δηλαδή, η σταθερά

);

#2

$\displaystyle{a_{n+1}-1=(a_n-1)a_n , a_1=2}$ [*]

$\displaystyle{\frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{a_{n}-1}-\frac{1}{a_n}}$

δίνοντας τιμές και προσθέτοντας κατά μέλη
$\displaystyle{\frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{a_{1}-1}-S}$ οπου S το ζητούμενο άθροισμα

αρκεί $\displaystyle{S<1\Leftrightarrow 1-\frac{1}{a_{n+1}-1}<1\Leftrightarrow a_{n+1}-1>0}$ ισχύει επαγωγικά εύκολα από την [*]

#3

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_n}}} + \frac{1}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_n}}} = 1,}$ (1)

από όπου η ζητούμενη ανισότητα έπεται άμεσα.

Για $\displaystyle{n = 1}$ ισχύει προφανώς ότι

$\displaystyle{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_1}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.}$

Υποθέτουμε ότι για κάποιο θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_k}}} + \frac{1}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_k}}} = 1.}$

Τότε, είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_k}}} + \frac{1}{{{a_{k + 1}}}} + \frac{1}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_{k + 1}}}} = \frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_k}}} + \frac{{1 + {a_1}{a_2} \cdots {a_k}}}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_{k + 1}}}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_k}}} + \frac{{{a_{k + 1}}}}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_{k + 1}}}} = \frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_k}}} + \frac{1}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_k}}} = 1}$

και το συμπέρασμα έπεται επαγωγικά.

Θα αποδείξουμε τώρα ότι η σταθερά 1 είναι η καλύτερη δυνατή, δηλαδή ότι αν $\displaystyle{C}$ είναι μια σταθερά τέτοια, ώστε για καθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ να ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_n}}} < C,}$ (2)

τότε θα είναι $\displaystyle{C \ge 1.}$

Πράγματι, από τη σχέση (1), η (2) γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{1 - \frac{1}{{{a_1}{a_2} \cdots {a_n}}} < C}$ (3)

για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ .

Εφόσον $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_1}{a_2} \cdots {a_n}} \right) = + \infty ,}$
(γιατί εύκολα βλέπουμε ότι $\displaystyle{{a_n} > n}$ για κάθε $\displaystyle{n}$ ), παίρνοντας όρια στη σχέση (3) καθώς $\displaystyle{n \to \infty }$ συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{C \ge 1.}$

Ανισότητα με ακολουθία

Ανισότητα με ακολουθία

Re: Ανισότητα με ακολουθία

Re: Ανισότητα με ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση