Μια συναρτησιακή από το ο.ε.δ.

#1

Από το τελευταίο τεύχος του ο.ε.δ.:

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: [0,1] \to \mathbb{R}_+^*$ με την ιδιότητα για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
και για κάθε $x_1,x_2,...,x_n \in [0,1]$ με x_1+x_2+...+x_n =1

να ισχύει

Να αποδείξετε ότι $f(x)=e^x, \ x \in [0,1].$

#2

έστω

ένας οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος. Θέτοντας $x_1=x_2=...=x_n=\frac {1}{n}$

βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f(\frac {1}{n})=e^{\frac {1}{n}}}$

Εύκολα αποδεικνύεται με επαγωγή ότι $\displaystyle{f(\frac {m}{n})=e^{\frac {m}{n}}}$ , για κάθε ακέραιο

με $0\le m \le n$ .

Άρα για κάθε ρητό $r \in [0,1]$ ισχύει f(r)=e^r

Έστω $a \in [0,1]- \mathbb{Q}$ , Τότε υπάρχει ακολουθία $r_n \in [0,1] \cap \mathbb{Q}$ ώστε

$r_n \to a \Rightarrow f(r_n) \to f(a) *\Rightarrow e^{r_n} \to f(a) \Rightarrow f(a)=e^a$

και η απόδειξη τελείωσε.

*Λόγω της συνέχειας.

Μια συναρτησιακή από το ο.ε.δ.

Μια συναρτησιακή από το ο.ε.δ.

Re: Μια συναρτησιακή από το ο.ε.δ.

Μέλη σε σύνδεση