Μια συναρτησιακή

#1

Κάπως δύσκολη(έτσι μου φάνηκε)
Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

α) $\displaystyle{f(x+y) = \frac {f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}, \forall x,y \in \mathbb{R}$

β) $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=0$ και

γ) $f(1)=\frac {1}{2}$

#2

Για

έχουμε

.

Αν $f(0)=1 \ (f(0)=-1)$ τότε θέτοντας $y=1 \ (y=-1)$ προκύπτει $f(x)=1 \ (f(x)=-1),$ για κάθε

, παραβιάζοντας τις $\beta, \gamma.$

Έτσι, f(0)=0

. Ακόμη, για $\displaystyle x=y:=\frac{x}{2}$ είναι $\displaystyle f(x)=\frac{2f(\frac{x}{2})}{1+f^2(\frac{x}{2})}$ , οπότε $|f(x)|\leq 1$ , για κάθε

Αν υπάρχει x_0

ώστε $f(x_0)=1 \ (f(x_0)=-1)$ τότε $f(x)=1 \ (f(x)=-1)$ , για κάθε

, που δεν είναι λύσεις.

Άρα, |f(x)|< 1

και επομένως υπάρχει συνάρτηση

ώστε $f(x)=\tanh(h(x)).$

Με γνωστή τεχνική, η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}.$

H

θα είναι συνεχής και από γνωστή ιδιότητα της tanh, η

είναι τελικά Cauchy.

Λόγω συνέχειας, h(x)=cx

και από το $\gamma$

$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1}, \ \forall x \in \mathbb{R}.$

Μια συναρτησιακή

Μια συναρτησιακή

Re: Μια συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση