Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με f(x)=ax^2+bx+c

, οι οποίες έχουν

την ιδιότητα για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$ και για κάθε $x \in [n,n+1]$ , αληθεύει η πρόταση

$f(x) \in [n^2-2n,n^2-1]$

hsiodos · #2

Κάνω μια προσπάθεια.

Η f προφανώς δεν είναι σταθερή και σαν πολυωνυμική είναι συνεχής.

Για n = 1 τότε αν $\displaystyle{x \in [1,2]}$ θα ισχύει $\displaystyle{f(x) \in [ - 1,0]\,}$ και για n = 2 αν $\displaystyle{x \in [2,3]\,}$ θα ισχύει $\displaystyle{f(x) \in [0,3]}$ .

Συνεπώς η f στο [1 , 3] παίρνει ετερόσημες τιμές και άρα μηδενίζεται. Είναι πρώτου ή δευτέρου βαθμού (με Δ>0 στην περίπτωση αυτή)

και άρα εκατέρωθεν της ρίζας αλλάζει πρόσημο. Επομένως αναγκαστικά η ρίζα είναι ίση με 2 (διαφορετικά οδηγούμαστε σε άτοπο.)

Έτσι $\displaystyle{f(2) = 0 \Rightarrow 4a + 2b + c = 0\,\,(1)}$

Επειδή η f είναι πρώτου(αυτό μπορούμε να το αποκλείσουμε τώρα αλλά δεν χρειάζεται) ή δευτέρου βαθμού με ρίζα το 2 από τα δεδομένα προκύπτει ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[2, + \infty )}$ και επομένως και σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{[n,n + 1]\,\,,\,\,n \in N^* \,\,,\,\,n \ge 2}$

Έστω $\displaystyle{n \in N^* \,\,,\,\,n \ge 2}$ τότε $\displaystyle{ f(n) = an^2 + bn + c\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f(n + 1) = an^2 + (2a + b)n + a + b + c}$

Πρέπει για κάθε $\displaystyle{n \in N^* \,\,,\,\,n \ge 2}$ να ισχύει

$\displaystyle{ f(n) \ge n^2 - 2n\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f(n + 1) \le n^2 - 1}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow (a - 1)n^2 + (b + 2)n + c \ge 0\,\,\,(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(a - 1)n^2 + (2a + b)n + a + b + c + 1 \le 0\,\,\,(3)}$

Αλλάζοντας τα πρόσημα στην (3) και μετά προσθέτοντας κατά μέλη με την (2) παίρνουμε: $\displaystyle{2(a - 1)n \le - (a + b + 1)\,\,\,(4)}$

Έστω ότι α -1 < 0

Θεωρούμε το τριώνυμο $\displaystyle{(a - 1)x^2 + (b + 2)x + c}$ που έχει διακρίνουσα

$\displaystyle{D = (b + 2)^2 - 4(a - 1)c\,\,\mathop = \limits^{(1)} \,\,b^2 + 4b + 4 - 4(a - 1)( - 4a - 2b)}$ $\displaystyle{ = b^2 + 4b + 4 + 16a^2 + 8ab - 16a - 8b = (16a^2 + 8ab + b^2 ) - 16a - 4b + 4}$ $\displaystyle{ = (4a + b)^2 - 4(4a + b) + 4 = (4a + b - 2)^2 }$

Συνεπώς $\displaystyle{ (a - 1)x^2 + (b + 2)x + c \le 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R}$ , αλλά τότε δεν ισχύει η (2)

Έστω ότι α -1 > 0

Τότε $\displaystyle{ (4) \Rightarrow n \le \frac{{ - (a + b + 1)}}{{2(a - 1)}}\,\,\,(\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,n \in N^* ,n \ge 2)}$ , άτοπο

Συμπεραίνουμε ότι α = 1 οπότε οι (2) και (3) μας δίνουν αντίστοιχα $\displaystyle{\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,n \in N^* ,n \ge 2}$

$\displaystyle{ (b + 2)n + c \ge 0\,\,\,(5)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,(b + 2)n + b + c + 2 \le 0\,\,\,(6)}$

Αν β + 2 > 0 οδηγούμαστε σε άτοπο από την (6) ενώ αν β + 2 < 0 οδηγούμαστε σε άτοπο από την (5)

Συνεπώς β = -2 και από την (1) παίρνουμε c = 0 οπότε $\displaystyle{f(x) = x^2 - 2x}$

Εύκολα επαληθεύουμε ότι η f ικανοποιεί τα δεδομένα.

Γιώργος

#3

Γιώργο ευχαριστώ

Ας δούμε και αυτή:

Από τα δεδομένα έχουμε $n^2-2n \le f(n), \forall n \ge 1 \Rightarrow 1 \le \frac {an^2+bn+c}{n^2-2n}, \forall n>2$

Συνεπώς παίρνοντας όρια στο άπειρο $1 \le a$ (1)

Επίσης έχουμε $f(n) \le n^2-1, \forall n \ge1 \Rightarrow \frac {an^2+bn+c}{n^2-1} \le 1, \forall n>1$

και παίρνοντας όρια στο άπειρο $a \le 1$ (2)

Από (1) και (2) a=1

Συνεπώς $n^2-2n \le n^2+bn+c \Rightarrow -2 \le \frac {bn+c}{n}, \forall n \ge 1$ και με όρια

$-2\le b$ (3)

Αφ' ετέρου $f(n+1) \le n^2-1, \forall n \Rightarrow (b+2)n+b+c+1 \le -1 \Rightarrow b+2+\frac {b+c+1}{n} \le \frac {-1}{n} , \forall n$

και με όρια στο άπειρο $b+2 \le 0 \Rightarrow b \le -2$ (4)

Από (3) και (4) έχουμε b=-2

Άρα $n^2-2n \le n^2-2n+c \le n^2-1, \forall n$

Για $n=1 \Rightarrow -1 \le c \le 0$ (5) και

Για $n=2 \Rightarrow 0 \le c \le 3$ (6)

Από (5) και (6): c=0

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το x^2-2x

ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση