Συναρτησιακή, εκ του οεδ

#1

Από το τελευταίο τεύχος του ο.ε.δ.:

Η συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν:
1) $xf^{\prime}(x)\geq f(x)$ για κάθε $x\geq 0$
2) f(0)=0

3) $f(x+1)-f(x)=f^{\prime}(0)$ για κάθε $x\geq 0.$

Να βρεθεί ο τύπος της

mathxl · #2

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{f\left( x \right)}}{x},x > 0} \\ {f'\left( 0 \right),x = 0} \\ \end{array}} \right.}$
η οπόια είναι συνεχής στο [0,+οο)

$\displaystyle{g'\left( x \right) = \frac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}} \ge 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$
οπότε είναι αύξουσα στο [0,+οο) ως συνεχής

Για χ > 0
$\displaystyle{0 < x < x + 1 \Rightarrow g\left( 0 \right) \le g\left( x \right) \le g\left( {x + 1} \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) \le \frac{{f\left( x \right)}}{x} \le \frac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{xf\left( x \right) + f\left( x \right) \le xf\left( {x + 1} \right) \wedge g\left( 0 \right) \le g\left( x \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right) \ge \frac{{f\left( x \right)}}{x} \wedge g\left( 0 \right) \le g\left( x \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{f'\left( 0 \right) \ge \frac{{f\left( x \right)}}{x} \wedge g\left( 0 \right) \le g\left( x \right) \Rightarrow g\left( 0 \right) \ge g\left( x \right) \wedge g\left( 0 \right) \le g\left( x \right) = g\left( 0 \right) \Rightarrow }$

η οποία για χ = 0 δίνει f(0)=0, συνεπώς $\displaystyle{f\left( x \right) = xf'\left( 0 \right),x \ge 0}$
η οποία ικανοποιεί τις προυποθέσεις (αν και δεν τις έλεγξα

)

Συναρτησιακή, εκ του οεδ

Συναρτησιακή, εκ του οεδ

Re: Συναρτησιακή, εκ του οεδ

Μέλη σε σύνδεση