Ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο!

#1

Μια όμορφη:

$\displaystyle{\bigstar}$ Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $\displaystyle{x}$ είναι εγγεγραμμένο σε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ , του οποίου οι πλευρές είναι οι $\displaystyle{a,b,c}$ και το εμβαδόν του $\displaystyle{E.}$

Με βοήθεια από εδώ ή με άλλο τρόπο, να αποδειχθεί, ότι

$\displaystyle{x\geq \frac{2\sqrt{2}E}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}E}}.}$

Ευχαριστώ τον Σωτήρη Λουρίδα για επισήμανση αβλεψίας στην εκφώνηση.

#2

Επαναφορά!

#3

Βλέπω απόδειξη για την περίπτωση κατά την οποία όλες οι γωνίες του τριγώνου είναι μικρότερες των $\displaystyle{120^ο.}$

Τότε γνωρίζουμε ότι ισχύει $\displaystyle{(MA+MB+MC)_{\min }=TA+TB+TC=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}E}{2}}}$ , όπου $\displaystyle{T}$ το σημείο Fermat του τριγώνου.

Τότε, έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{x(TA+TB+TC)\geq 2E.}$

Είναι

$\displaystyle{xTA=\frac{2(AZTE)}{\sin \omega}\geq 2(AZTE),}$ όπου $\displaystyle{\omega}$ η γωνία των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Γράφοντας τις ανάλογες ανισότητες για τα $\displaystyle{xTB,xTC}$ και προσθέτοντας προκύπτει η ζητούμενη.

Τι μπορούμε να πούμε όταν μια γωνία του $\displaystyle{ABC}$ είναι $\displaystyle{\geq 120^o}$ ;

Ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο!

Ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο!

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο!

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο!

Μέλη σε σύνδεση