Συναρτησιακή 86

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(2011) = 2011

και

$\displaystyle {f(4xy) = 2y\left(f(x + y) + f(x-y)\right),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

$\displaystyle ...f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y)):\ \ (1)$
Από την (1) για $\displaystyle y=0$ προκύπτει ότι $\displaystyle f(0)=0$
Από την (1) για $\displaystyle x=0$ έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle y\in R$ ισχύει:
$\displaystyle f(0)=2y(f(y)+f(-y))$ και επειδή $\displaystyle f(0)=0$ άρα:
$\displaystyle 2y(f(y)+f(-y))=0$ οπότε για κάθε $\displaystyle y\neq 0$ ισχύει:
$\displaystyle f(y)+f(-y)=0\Leftrightarrow f(-y)=-f(y)$
και επειδή $\displaystyle f(0)=0$ συμπεραίνουμε ότι ισχύει:
$\displaystyle f(-y)=-f(y),\ \ \forall y\in R:\ \ (2)$
Από την (1) θέτοντας όπου $\displaystyle x$ το $\displaystyle \frac{x+y}{2}$
και όπου $\displaystyle y$ το $\displaystyle \frac{x-y}{2}$ έχουμε ότι
για κάθε $\displaystyle x,y\in R$ ισχύει:
$\displaystyle f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y)):\ \ (3)$
Από την (3) θέτοντας όπου $\displaystyle y$ το $\displaystyle -y$ έχουμε
ότι για κάθε $\displaystyle x,y\in R$ ισχύει:
$\displaystyle f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)+f(-y))$ και λόγω της (2) συνεπαγεται η
$\displaystyle f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)-f(y)): \ \ (4)$
Από τις (3) και (4) έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle x,y\in R$ ισχύει:
$\displaystyle (x-y)(f(x)+f(y))=(x+y)(f(x)-f(y))\Rightarrow \\\Rightarrow 2yf(x)=2xf(y)\Rightarrow yf(x)=xf(y):\ \ (5)$
Από την (5) για $\displaystyle y=2011$ έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle x\in R$ ισχύει:
$\displaystyle 2011f(x)=xf(2011)$ η οποία επειδή $\displaystyle f(2011)=2011$ δίνει τελικά την
$\displaystyle 2011f(x)=2011x\Rightarrow f(x)=x$
Άρα: $\displaystyle f(x)=x, \ \ x\in R$ (ικανοποιεί την υπόθεση)

Συναρτησιακή 86

Συναρτησιακή 86

Re: Συναρτησιακή 86

Μέλη σε σύνδεση