Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα :

$\displaystyle{(x-2)f(y)+f(y+2f(x))= f(x+yf(x)), \qquad \forall x,y \in \mathbb R.}$

Μπάμπης

GVlachos · #2

-Έστω ότι η

μηδενίζεται με f(a)=0

.
Για

παίρνουμε

.
Αν $a\neq1, f\equiv0$ που είναι δεκτή.
Αλλιώς $f(a)=0\Leftrightarrow a=1$
Για τυχαίο $a\neq2$ αν $f(a)\neq1$ για $y=\frac{a-2f(a)}{1-f(a)}$ παίρνουμε $f(y)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow f(a)=a-1$ ( f(1)=1-1=0

)
Άρα $f(0)\neq0$ και αν f(a)=f(b)

για

και

παίρνουμε $a-2=b-2\leftrightarrow a=b$ και η

είναι

.
Επομένως για $x\neq2,c$ για κάποιο

έχουμε

(αφού η

δεν μπορεί να παίρνει την τιμή

πάνω από μία φορά)
Επομένως για x=2

παίρνουμε

για κάθε

άρα

και

για κάθε

που είναι δεκτή.
-Αν η

δεν μηδενίζεται τότε f(2)=c

και

για $x\neq2$ , αλλιώς υπάρχει $a\neq2$ με $f(a)\neq1$ οπότε για $y=\frac{a-2f(a)}{1-f(a)}$ παίρνουμε f(y)=0

.
Αλλά οι δύο παραπάνω συναρτήσεις δεν ικανοποιούν τη σχέση άρα μοναδική λύση είναι η f(x)=x-1

#3

Επίσης, άλλες λύσεις: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2249404

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση