Συναρτησιακή 101

#1

Παίρνω τη σκυτάλη από τον Socrates:

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$f(e^x+e^y)=f(x+y), \forall x \ge 0 \wedge \forall y \le 0$

#2

Για

έχουμε $f(e^x+e^{-x})=f(0), \ x \geq 0$ . Επειδή η συνάρτηση $e^x+e^{-x}=2 \cosh x$ είναι επί του $[2,+\infty)$ έχουμε $f(x)=f(0), \ x \geq 2$ .

Θέτοντας y=0

προκύπτει

οπότε, αφού για αυθαίρετο $x \in [0,2)$ είναι $e^x+1\geq 2$ , είναι επίσης $f(x)=f(0), \ x \in [0,2).$

Με ανάλογο σκεπτικό, αν θέσουμε x=0

θα είναι

και αφού $0<e^y+1, \ y\leq 0$ , τελικά $f(y)=f(0), \ y\leq 0.$

Λύσεις είναι, λοιπόν, οι σταθερές συναρτήσεις και μόνο αυτές.

Συναρτησιακή 101

Συναρτησιακή 101

Re: Συναρτησιακή 101

Μέλη σε σύνδεση