Συναρτησιακή 102

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f \left((x - y)^2\right) = f(x)^2 -2xf(y) + y^2 ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Θέτοντας

έχουμε $f(0)=f^2(0) \Rightarrow f(0)=0 \vee f(0)=1$

Αν f(0)=1

, τότε θέτοντας όπου x=0

έχουμε $f(y^2)=1+y^2, \forall y \in \mathbb{R}$

Έτσι $\forall x \ge 0$ έχουμε f(x)=1+x

και

$x>0 \Rightarrow f(4x^2)=f^2(x)-2xf(-x)+x^2 \Rightarrow 1+4x^2=(1+x)^2-2xf(-x)+x^2 \Rightarrow 2x^2=2x-2xf(-x)$

$\Rightarrow f(-x)=1-x$

Δηλαδή $f(x)=1+x, \forall x \in \mathbb{R}$

Αν f(0)=0

, τότε θέτοντας x=y

έχουμε $(f(x)-x)^2=0 \Rightarrow f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$

Συναρτησιακή 102

Συναρτησιακή 102

Re: Συναρτησιακή 102

Μέλη σε σύνδεση