Συναρτησιακή 105

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x) + y) = x + f(y + 2006) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

dement · #2

Καλημέρα.

Θέτοντας y = 0

έχουμε

, άρα η

είναι 1-1 και επί. Με x = 0

έχουμε $f[f(0)] = f(2006) \implies f(0) = 2006$ .

Θέτοντας $x = f^{-1} (0)$ έχουμε $f(y) = f^{-1} (0) + f(y + 2006)$ .

Θέτοντας $x = f^{-1} (1)$ έχουμε $f(y + 1) = f^{-1} (1) + f(y+2006) = f(y) + f^{-1} (1) - f^{-1} (0)$ . Αρα η

είναι γραμμική και, αφού είναι επί, θα είναι της μορφής f(x) = x + c

η

. Αφού

, οι δύο πιθανές λύσεις είναι f(x) = x + 2006

και

. Επαληθεύουμε και τις δύο.

Συναρτησιακή 105

Συναρτησιακή 105

Re: Συναρτησιακή 105

Μέλη σε σύνδεση