Συναρτησιακή 107

#1

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ικανοποιεί τη σχέση:

$\displaystyle{ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}f(x)=f(x+1)+f(x-1)}$ για κάθε $x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ (1).$

1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι περιοδική με περίοδο 10.

2) Να εξηγήσετε γιατί υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση (1).

(ΕΜΕ, Άσκηση του Μήνα- Μάρτιος,Απρίλιος 2011)

#2

Έστω $\displaystyle{\omega = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}}$ , τότε $\omega f\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right) + f\left( {x + 1} \right)$ και ${\omega ^2} - \omega - 1 = 0$ (επομένως ${\omega ^2} - 1 = \omega {\text{ \& }}{\omega ^2} = \omega + 1$ ) και $\displaystyle{f\left( x \right) = \omega f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x + 2} \right)}$ .

To 1o ερώτημα.

$\displaystyle{f\left( x \right) = \omega f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x + 2} \right) = \omega \left( {\omega f\left( {x + 2} \right) - f\left( {x + 3} \right)} \right) - f\left( {x + 2} \right) = \left( {{\omega ^2} - 1} \right)f\left( {x + 2} \right) - \omega f\left( {x + 3} \right) = }$

$\displaystyle{ = \omega f\left( {x + 2} \right) - \omega f\left( {x + 3} \right) = \omega \left( {\omega f\left( {x + 3} \right) - f\left( {x + 4} \right)} \right) - \omega f\left( {x + 3} \right) = \left( {{\omega ^2} - \omega } \right)f\left( {x + 3} \right) - \omega f\left( {x + 4} \right) = }$

$\displaystyle{ = f\left( {x + 3} \right) - \omega f\left( {x + 4} \right) = \omega f\left( {x + 4} \right) - f\left( {x + 5} \right) - \omega f\left( {x + 4} \right) \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = - f\left( {x + 5} \right)}}$

Τότε $f\left( x \right) = - f\left( {x + 5} \right) = - \left( { - f\left( {x + 10} \right)} \right) \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = f\left( {x + 10} \right)}$ , δηλαδή περιοδοκή με περίοδο T=10

.

#3

Με την ίδια (περίπου) τεχνική που παρουσιάζεται εδώ viewtopic.php?f=59&t=14840 Βρήκα ότι η μοναδική οικογένεια συναρτήσεων που επαληθεύει την δεδομένη συναρτησιακή

είναι $\displaystyle{f\left( x \right) = c \cdot \cos \left( {\frac{{\pi x}}{5}} \right){\text{ }}{\text{, }}c \in R}$ , που επαληθεύει την αρχική .. και βεβαίως έχει άπειρα μέλη.

Διερεύνηση των παραπάνω δίδει ότι συναρτησιακές του τύπου $\displaystyle{f\left( {x - 1} \right) + f\left( {x + 1} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{n}} \right)f\left( x \right){\text{ }}{\text{, }}n \in N}$ , δίδουν περιοδικές συναρτήσεις

με περίοδο T=2n

, βεβαίως είναι της μορφής $\displaystyle{f\left( x \right) = c \cdot \cos \left( {\frac{{\pi x}}{n}} \right)}$ .

Dreamkiller · #4

Δείτε και μια διαφορετική προσέγγιση εδώ http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 02&p=31477

#5

Dreamkiller έγραψε:Δείτε και μια διαφορετική προσέγγιση εδώ http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 02&p=31477

H περιοδικότητα της f(x)

είναι ήδη αποδεδειγμένη με τρεις τρόπους !!

Συναρτησιακή 107

Συναρτησιακή 107

Re: Συναρτησιακή 107

Re: Συναρτησιακή 107

Re: Συναρτησιακή 107

Re: Συναρτησιακή 107

Μέλη σε σύνδεση