Συναρτησιακή 130

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Για $\displaystyle{ x = y = 0 }$ έχω $\displaystyle{ f(0) = 1 }$ .
Για $\displaystyle{ x = 0 }$ και τυχαίο $\displaystyle{ y \in R }$ έχω:
$\displaystyle{ f(y) - 2f( - y) + 1 - 2f(y) = y - 2 \Rightarrow ...f(y) + 2f( - y) = - y + 3(1) }$
Τώρα θέτω για $\displaystyle{ y \to - y }$ και λαμβάνω:
$\displaystyle{ f( - y) + 2f(y) = y + 3 \Rightarrow - 2f( - y) - 4f(y) = - 2y - 6,y \in R(2) }$
Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2) λαμβάνω:
$\displaystyle{ - 3f(y) = - 3y - 3 \Rightarrow f(y) = y + 1,y \in R }$
που επαληθεύει.
Socrates και γκόλλλλλ...
Θανάση έχασα κάπου;

Συναρτησιακή 130

Συναρτησιακή 130

Re: Συναρτησιακή 130

Μέλη σε σύνδεση