Συναρτησιακή 147

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:[a,b] \to [a,b]$ για τις οποίες

$\displaystyle{f(f(x))+f(x)=2x, \forall x \in [a,b]}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Θέτουμε $\displaystyle{a_{n+1}=f(a_n),a_0=x}$
Τότε προκύπτει ότι $\displaystyle{a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n=0 , a_0=x , a_1=f(x)}$
Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου $\displaystyle{x^2+x-2}$ της αναδρομικής ακολουθίας $\displaystyle{a_n}$ είναι το 1 και το -2 άρα $\displaystyle{a_n=k.1+m(-2)^n}$ με $\displaystyle{k+m=x,k-2m=f(x)}$ οπότε $\displaystyle{m=(x-f(x))/3}$
Έστω $\displaystyle{m\ne 0}$
Προφανώς $\displaystyle{a\le a_n\le b}$ δηλαδή $\displaystyle{a_n}$ φραγμένη που είναι άτοπο λόγω του όρου $\displaystyle{(-2)^n}$
Άρα $\displaystyle{m=0 \Rightarrow f(x)=x,\forall x\in [a,b]}$ που επαληθεύει την αρχική σχέση

Συναρτησιακή 147

Συναρτησιακή 147

Re: Συναρτησιακή 147

Μέλη σε σύνδεση