Απειροσύνολο

#1

Έστω

ένα σύνολο αριθμών και $f:A \to A$ μία συνάρτηση, για την οποία ισχύει

$f(a)-f(b)=a-b, \forall a,b \in A$ . Να αποδειχθεί ότι το

είναι απειροσύνολο ή η

είναι η ταυτοτική.

#2

s.kap έγραψε:Έστω ένα σύνολο αριθμών και $f:A \to A$ μία συνάρτηση, για την οποία ισχύει

$f(a)-f(b)=a-b, \forall a,b \in A$ . Να αποδειχθεί ότι το είναι απειροσύνολο ή η είναι η ταυτοτική.

Αν το Α είναι άπειρο, τελειώσαμε.

Αν το Α πεπερασμένο, τότε έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω το

.

Tότε για κάθε

στο Α είναι εξ υποθέσεως f(a) = f(d) + a - d

(*).

Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι εξ υποθέσεως υποσύνολο του

, έχουμε $f(d)\ge d$ . Αν όμως ίσχυε f(d) > d

τότε για το μεγαλύτερο στοιχείο Μ του Α θα είχαμε

f(M) = M + f(d) - d > M

, άτοπο (αφού $f(M) \in A$ ).

Άρα f(d)=d

και η (*) δίνει f(a)=a

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Ας προσθέσω ότι αν Α απειροσύνολο, μπορεί να υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με τις παραπάνω ιδιότητες, πέρα από την ταυτοτική. Π.χ. αν $A= \mathbb Q$ , μία τέτοια είναι η f(x) = x + 1

.

#3

s.kap έγραψε:Έστω ένα σύνολο αριθμών και $f:A \to A$ μία συνάρτηση, για την οποία ισχύει

$f(a)-f(b)=a-b, \forall a,b \in A$ . Να αποδειχθεί ότι το είναι απειροσύνολο ή η είναι η ταυτοτική.

Άλλη λύση:

Έστω ότι η

δεν είναι ταυτοτική. Άρα υπάρχει

με $f(b)\ne b$ . Χωρίς βλάβη f(b)>b

(η περίπτωση, f(b)<b

όμοια).

Από την υπόθεση έχουμε για κάθε

ότι

, δηλαδή

(*). Παρατηρούμε τώρα (επειδή η εικόνα της

είναι στο

) ότι τα

ανήκουν όλα στο

. Επίσης, από πολλαπλή χρήση της (*), είναι a < f(a) < f(f(a)) < f(f(f(a))) < ...

.

Με άλλα λόγια βρήκαμε άπειρα το πλήθος διαφορετικά ανά δύο στοιχεία του

, συνεπώς το Α είναι απειροσύνολο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Απειροσύνολο

Απειροσύνολο

Re: Απειροσύνολο

Re: Απειροσύνολο

Μέλη σε σύνδεση