Συναρτησιακή 148

#1

Αν

θετικοί ακέραιοι, να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ με την ιδιότητα

$af(x-1)+bf(x)=(a+b)f(x+1), \forall x \in \mathbb{Z}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

GVlachos · #2

Αν

για κάποιο

τότε προφανώς η

είναι σταθερή και όλες οι σταθερές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος.
Διαφορετικά, εύκολα προκύπτει ότι
$f(x+2)<max (f(x),f(x+1)),f(x+3)<max(f(x+1),f(x+2)) \leq max(f(x),f(x+1))$ ,
άρα max(f(x+2),f(x+3))<max(f(x),f(x+1))

για κάθε ακέραιο

. Όμως σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε μια γνησίως φθίνουσα ακολουθία θετικών ακεραίων. Άτοπο.
Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση είναι όλες οι σταθερές.

#3

Διαφορετικά :

Ονομάζω $k=min \{f(x), x \in \mathbb{Z}\}$ και έστω $r \in \mathbb{Z}$ ώστε f(r)=k

Έχω

(1)

και επειδή $f(r-2)\ge k, f(r-1) \ge k, f(r)=k$ η (1) δίνει f(r-2)=f(r-1)=k

Συνεπώς η

δίνει

Άρα

και με επαγωγή (δύο φορές) έχουμε $f(x)=k, \forall x \in \mathbb{Z}$

Συναρτησιακή 148

Συναρτησιακή 148

Re: Συναρτησιακή 148

Re: Συναρτησιακή 148

Μέλη σε σύνδεση