Συναρτησιακή 160

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1} \right)+f \left(\frac{x+3}{1-x} \right)= x ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}-\{-1,1\}.$

stuart clark · #2

$\displaystyle\mathbf {f\left(\frac{x-3}{x+1} \right)+f \left(\frac{x+3}{1-x} \right) = x ..................................(1)}$

Βάλτε $\displaystyle\mathbf{x = \frac{x-3}{1+x}}$ στην εξίσωση .......................... (1)

$\displaystyle\mathbf{f\left(\frac{\frac{x-3}{1+x}-3}{\frac{x-3}{1+x}+1}\right)+f\left(\frac{\frac{x-3}{1+x}+3}{1-\frac{(x-3)}{1+x}}\right) = \frac{x-3}{1+x}}$

$\displaystyle\mathbf{f\left(\frac{x+3}{1-x}\right)+f(x) = \frac{x-3}{1+x}.......................................................(2)}$

Και πάλι τίθεται $\displaystyle\mathbf{x = \frac{x+3}{1-x}}$ στην εξίσωση ................ (1)

$\displaystyle\mathbf{f\left(\frac{\frac{x+3}{1-x}-3}{\frac{x+3}{1-x}+1}\right)+f\left(\frac{\frac{x+3}{1-x}+3}{1-\frac{(x+3)}{1-x}}\right) = \frac{x+3}{1-x}}$

$\displaystyle\mathbf{f(x)+f\left(\frac{x-3}{1+x}\right) = \frac{x+3}{1-x}.......................................................(3)}$

Προσθέστε εξίσωση .. (2) και (3), παίρνουμε

$\displaystyle\mathbf{2f(x) + f\left(\frac{x+3}{1-x}\right) + f\left(\frac{x-3}{1+x}\right) = \frac{x-3}{1+x}+\frac{x+3}{1-x}}$

Έτσι $\boxed{\displaystyle\mathbf{f(x) = \frac{1}{2}.\left(\frac{x^3+7x+1}{1-x^2}\right)}}$

userresu · #3

Όπως έστειλα και σε pm στον stuart clark, ξέχασε τα f(1) και f(-1) και επίσης νομίζω πως ο τελικός τύπος είναι $\frac{x^3+7x}{2(1-x^2)}$ .

Συναρτησιακή 160

Συναρτησιακή 160

Re: Συναρτησιακή 160

Re: Συναρτησιακή 160

Μέλη σε σύνδεση