Συναρτησιακή 162

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {x^2y^2 \left( f(x + y) - f(x) - f(y) \right) = 3(x + y)f(x)f(y) },$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Ας την επαναφέρουμε...

#3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {x^2y^2 \left( f(x + y) - f(x) - f(y) \right) = 3(x + y)f(x)f(y) },$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$ (1)

Παρατηρούμε ότι λύσεις της εξίσωσης είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής

$\displaystyle{f_a(x)=\begin{cases} a &x=0\\ 0 &x\neq 0 \end{cases}}$

με $\displaystyle{a \in \mathbb{R}}$

Ψάχνουμε για λύση της εξίσωσης με $\displaystyle{f(y_0)\neq 0}$ για κάποιο $\displaystyle{y_0 \neq 0}$ .

Τότε η (1) για $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{y=y_0}$ δίνει $\displaystyle{3y_0f(0)f(y_0)=0 \Rightarrow f(0)=0}$ (2)

Η (1) για y=-x

δίνει

$\displaystyle{x^4 \left(-f(x)-f(-x)\right)=0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(-x)=-f(x), \forall x \in \mathbb{R}^*}$ (3)

Η (1) για y=x

δίνει

$\displaystyle{x^4\left(f(2x)-2f(x)\right)=6xf^2(x) \Rightarrow \left(x \neq 0\right) ... \Rightarrow f(2x)=2f(x)+\frac {6}{x^3} f^2(x), \forall x \neq 0}$ (4)

Η (1) για y=2x

και

δίνει

$\displaystyle{4x^4\left(2f(x)-f(2x)\right)=-3xf(x)f(2x), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow -4x^3f(2x)+8x^3f(x)=-3f(x)f(2x), \forall x \neq 0}$

και λόγω της (4) έχουμε

$\displaystyle{-24f^2(x)=-6f^2(x)-\frac {18}{x^3}f^3(x), \forall x \neq 0}$ (5)

Συνεπώς αν για κάποιο $x \neq 0$ ισχύει $\displaystyle{f(x) \neq 0}$ , τότε $\displaystyle{f(x)=x^3}$

Ισχυρισμός: Δεν υπάρχουν $x,y \neq 0$ με $f(x) \neq 0 \wedge f(y)=0$

Με απαγωγή σε άτοπο: Αν υπάρχουν τότε η (1) δίνει

$\displaystyle{f(x+y)=x^3 \Rightarrow 0=x^3 \vee (x+y)^3=x^3}$ , άτοπο.

Άρα η λύση που ψάχνουμε είναι η $\displaystyle{f(x)=x^3, x \in \mathbb{R}}$

Συναρτησιακή 162

Συναρτησιακή 162

Re: Συναρτησιακή 162

Re: Συναρτησιακή 162

Μέλη σε σύνδεση