Μπορεί να είναι πρώτος;

#1

Να εξετάσετε αν υπάρχει $n \in \mathbb{N}$ τέτοιος ώστε ο αριθμός 324 + 455^n

να είναι πρώτος.

#2

socrates έγραψε:Να εξετάσετε αν υπάρχει $n \in \mathbb{N}$ τέτοιος ώστε ο αριθμός να είναι πρώτος.

Ποτέ πρώτος:

Mπορεί να υπάρχει ευκολότερος τρόπος, αλλά αυτόν βρήκα!

α) Αν n περιττός τότε $324 + 455^n = (1 + (-1)^n) \mod 19 = 0\mod 19$

β) Αν n άρτιος τότε είναι είτε περιττό πολλαπλάσιο του 2 είτε πολλαπλάσιο του 4.

Στην πρώτη περίπτωση, όπου n=2m

με

περιττό, έχουμε
$324 + 455^{2m} = 324 + (-4)^{2m}mod17 = (1 + 16^m)\mod 17 = (1 +(-1)^m)\mod 17 = 0 \mod 17$

Tέλος, αν n=4m

τότε
$324 + 455^{4m} = 4\cdot3^4 + A^4$ που είναι σύνθετος βάση της ταυτότητας
4a^4+A^4= (2a^2 - 2aA+A^2)(2a^2 + 2aA+A^2)

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

2.
Να δείξετε ότι ανάμεσα σε οποιουσδήποτε 10 000

διαδοχικούς όρους της ακολουθίας $a_n = n^6+209, \ n\geq 1$ τουλάχιστον 9916

είναι σύνθετοι.

3.
Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο

ο αριθμός $565^n+2^{n+18}$ είναι σύνθετος.

4.
Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο

ο αριθμός

είναι σύνθετος.

spiros filippas · #4

socrates έγραψε:4.
Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο αριθμός είναι σύνθετος.

Το επαναφέρω με μια σκέψη για το 4.

Για

περιττο έχουμε: $A\equiv (-1)^n+1=-1+1\equiv 0~mod~3$

Για n=2m

με

περιττο έχουμε :

$A\equiv (47^2)^m+1\equiv (-1)^m+1\equiv 0~mod~17$ αν m=2l

είναι:

$A=(47^l)^4+2500=(47^l)^4+4 \times 5^4$ πάλι σύνθετος λόγω της προαναφερθείσας ταυτότητας ( Sophie Germain Identity)

Μπορεί να είναι πρώτος;

Μπορεί να είναι πρώτος;

Re: Μπορεί να είναι πρώτος;

Re: Μπορεί να είναι πρώτος;

Re: Μπορεί να είναι πρώτος;

Μέλη σε σύνδεση