Συναρτησιακή 163

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {f\left( f \left(\frac{x+y}{2} \right)\right)=f(x+y) \cdot f(x-y),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {f\left( f \left(\frac{x+y}{2} \right)\right)=f(x+y) \cdot f(x-y),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Αν θέσουμε όπου

το

τότε $f\big(f(0)\big)=f(2x)f(0)$ , για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (1)$
Αν θέσουμε όπου

και

το

τότε παίρνουμε $f\big(f(0)\big)=f^2(0) \ \ (2)$
Αν θέσουμε όπου

το

τότε $f\big(f(x)\big)=f(2x)f(0)$ , για κάθε $x\in\mathbb{R} \ \ (3)$

Από τις (1),(3)

παίρνουμε $f\big(f(x)\big)=f\big(f(0)\big) \ \ (4)$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Από τις (1),(2)

παίρνουμε $f(0)f(2x)=f^2(0) \ \ (5)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Απ' την (5)

αν

τότε από την (4)

παίρνουμε $f\big(f(x)\big)=0$ , για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Aν στην αρχική θέσουμε όπου

το

παίρνουμε $f\left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)=f^2(x)$ και χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω έχουμε τελικά f(x)=0

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αν $f(0)\neq 0$ τότε απ'την (5)

παίρνουμε

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ δηλαδή f(x)=f(0)

οπότε η αρχική σχέση γίνεται f(0)=f^2(0)

και αφού $f(0)\neq 0$ άρα f(0)=1

οπότε

, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Τελικά οι λύσεις είναι $\boxed{f(x)=0, \ \forall x\in\mathbb{R}}$ και $\boxed{f(x)=1, \ \forall x\in\mathbb{R}}$

Αλέξανδρος

Συναρτησιακή 163

Συναρτησιακή 163

Re: Συναρτησιακή 163

Μέλη σε σύνδεση