Συναρτησιακή 165

#1

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνεχείς συναρτήσεις $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ τέτοιες ώστε f(1)=1

και $f(f(x))=f^2(x), \ \forall x \in [0,+\infty),$
ενώ μοναδική μη σταθερή παραγωγίσιμη με αυτές τις ιδιότητες.

#2

socrates έγραψε:Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνεχείς συναρτήσεις $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ τέτοιες ώστε και $f(f(x))=f^2(x), \ \forall x \in [0,+\infty),$
ενώ μοναδική παραγωγίσιμη με αυτές τις ιδιότητες.

Ας δούμε την περίπτωση της παραγωγίσιμης και μη σταθερής συνάρτησης*:

Θα δείξουμε ότι είναι επί του $[0,+\infty)$

Αν αληθεύει το αντίθετο, τότε θα υπάρχει $a \ge 0$ με $f(x) \neq a, \forall x \ge 0$ και λόγω της συνέχειας της

θα αληθεύει ακριβώς μία από τις επόμενες δύο προτάσεις

(1) $f(x)>a. \forall x \ge 0$ ή (2) $f(x)<a. \forall x \ge 0$ .

Έστω ότι αληθεύει η (1), τότε ονομάζουμε

το σύνολο των σημείων του διαστήματος $[0,+\infty)$ που δεν είναι τιμές της

. Τότε αν στην (1) θέσουμε x=1

βρίσκουμε

$f(x)>a , \forall x \ge 0 \Rightarrow f(f(x))>a, \forall x \ge 0 \Rightarrow f^2(x)>a, \forall x \ge 0$

$\Rightarrow f(x)> \sqrt{a}>a$

Συνεπώς, επειδή $a^{\frac {1}{2^n}} \to 1$ και επειδή η

έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής θα έχουμε:

A=[0,1]

. Συνεπώς $f(x) \ge 1=f(1), \forall x \ge 0$ , άρα (Fermat) $f^{\prime}(1)=0$

Αφ' ετέρου κάθε $y\ge 1$ γράφεται ως f(x)

, συνεπώς η αρχική δίνει

$f(y)=y^2, \forall y \ge 1 \Rightarrow f^{\prime}(y)=2y, \forall y \ge 1 \Rightarrow f^{\prime}(1)=2$ , αντίφαση.

Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι ισχύει το (2).

Άρα η

είναι επί του $[0,+\infty)$ . Άρα η αρχική δίνει $f(x)=x^2, \forall x \ge 0$ .

*νομίζω ότι πρέπει να προστεθεί και αυτό.

Όσον αφορά το πρώτο ζητούμενο ελπίζω να επανέλθω αφού πρώτα ξεκουραστώ

#3

Έχεις δίκιο, Σπύρο. Μη σταθερή και παραγωγίσιμη. Το διορθώνω.

#4

Όσο και αν ξεκουράστηκα, απειρία συνεχών, μη παραγωγίσιμων συναρτήσεων με αυτή την ιδιότητα δεν μπόρεσα να βρω.

Αλλά ο καταπληκτικός Θανάσης (Socrates) μου έλυσε την απορία. Ιδού:

$f(x)= \begin{cases} e^{a(1-x)} &x \le 1\\ x^2 & x \ge 1 \end{cases}$ , a>0

Μπράβο Θανάση

GVlachos · #5

Έγραψα μία λύση αλλά μου φάνηκε λάθος και την διέγραψα. Νομίζω όμως τελικά ότι είναι σωστή οπότε την ξαναγράφω.

Μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση και ως εξής:
Για κάποιο θετικό ακέραιο

ορίζουμε

για $x\geq 2n$
Για $0\leq x \leq n, f(x)=x^2$
Για $n\leq x \leq2 n, f(x)=(2n-x)^2$
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και μη παραγωγίσιμη στο

.

#6

Μια χαρά είναι, Γιώργο. Πάρε π.χ. n=1

Άλλη μία:

$f(x)= \begin{cases} \displaystyle { \frac{1}{a} & ,0 \leq x \leq a} \\ \\ \displaystyle {\frac{1}{x} & ,a \leq x \leq 1 } \\ \\ \displaystyle {x^2 & ,x \ge 1} \end{cases}}, \ \ 0<a\leq 1.$

GVlachos · #7

Μια ιδέα: Μπορούμε να θέσουμε f(x)=x^2

για κάθε

που ανήκει στην ένωση κατάλληλα ορισμένων διαστημάτων και την

έτσι ώστε να στέλνει κάθε

ή σε ένα από αυτά τα διαστήματα, ή στον εαυτό του ή στο 0. Μπορούμε με αυτόν τον τρόπο να παράγουμε πολλές τέτοιες συναρτήσεις.
Κάπως έτσι προέκυψε και η συνάρτηση που δίνω παραπάνω.

GVlachos · #8

GVlachos έγραψε:Έγραψα μία λύση αλλά μου φάνηκε λάθος και την διέγραψα. Νομίζω όμως τελικά ότι είναι σωστή οπότε την ξαναγράφω.

Μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση και ως εξής:
Για κάποιο θετικό ακέραιο ορίζουμε για $x\geq 2n$
Για $0\leq x \leq n, f(x)=x^2$
Για $n\leq x \leq2 n, f(x)=(2n-x)^2$
Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και μη παραγωγίσιμη στο .

Ήταν όντως λάθος τελικά, αλλά βρήκα μια άλλη κατασκευή. Αφού ευχαριστήσω τον socrates για τη διόρθωση και τον έλεγχο της καινούργιας κατασκευής, σας την παραθέτω.

f(x)=x^2

στο

Για κάποιους άρτιους θετικούς ακεραίους

:
$f(x)=\{x\}$ στο [k,k+1)

$f(x)=1-\{x\}$ στο [k+1,k+2)

Και σε όλα τα υπόλοιπα σημεία f(x)=0

#9

MH ΣΧΟΛΙΚΗ ,ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΠΛΟΥΡΑΛΙΣΜΟΥ

1. Οι ρίζες $\displaystyle{r_n}$ της $\displaystyle{f'}$ είναι το πολύ αριθμήσιμες(ΠΑΡΑΔΟΧΗ)

2.Στο $\displaystyle{(r_n,r_{n+1})}$ η $\displaystyle{f}$ είναι γν . μονότονη ( $\displaystyle{f'\ne 0}$ )

3.Στο $\displaystyle{(r_n,r_{n+1})}$ η $\displaystyle{f=\sqrt{f(f)}$ είναι γν . αύξουσα

4.Στο $\displaystyle{[r_n,r_{n+1}]}$ η $\displaystyle{f)$ είναι γν . αύξουσα (συνεχής)

5.Άρα $\displaystyle{f}$ γν . αύξουσα στο $\displaystyle{R+}$

6.Ως γν αυξουσα και συνεχής δεν θα είναι επί αν $\displaystyle{f(x)<\lim_{x\to +\infty }f(x)=M\in R,\forall x\in R}$ η περίπτωση $\displaystyle{f(x)\ne m>0}$ εύκολα αποκλείεται με θ.ενδ.τιμής

7.Τότε για $\displaystyle{x>M\Rightarrow f(x)>f(M)\Rightarrow f(f(x))>f(M)\Rightarrow f(x)>\sqrt{f(M)}}$

8. $\displaystyle{f(x)<M\Rightarrow f(f(x))<f(M)\Rightarrow f(x)<\sqrt{f(M)} }$ αντίφαση

9. Τότε η $\displaystyle{f}$ είναι ΕΠΙ

10. $\displaystyle{f'(x)(f'(f(x))-2f(x))=0\Rightarrow f'(y)-2y=0}$ για κάθε $\displaystyle{y\in R_+-\left\{ r_1,r_2,...,r_n,...\right\} }$

11.λόγω συνέχειας όμως $\displaystyle{f(x)=x^2+c}$ , $\displaystyle{f(1)=1,\Rightarrow ...}$

Συναρτησιακή 165

Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Re: Συναρτησιακή 165

Μέλη σε σύνδεση