Συναρτησιακή εξίσωση

nickthegreek · #1

Ένα όμορφο θέμα:

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$ που είναι τέτοιες ώστε

$\displaystyle (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ (*)

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z,t

.

Πηγή:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nickthegreek · #2

Eπαναφορά!

nickthegreek · #3

Επαναφορά της επαναφοράς!

nickthegreek · #4

Δίνω τη λύση μου σε αυτήν την ξεχασμένη (

) άσκηση:

Στην (*)

για $x=y=z=t \Rightarrow 4f(x)^2=f(2x^2)+f(0)$ (1)

Στην

για $x=0 \Rightarrow f(0)=0$ ή $f(0)=\frac{1}{2}$

(a) $f(0)=\frac{1}{2}$

Tότε στην (*)

για $x=z=0 \Rightarrow f(y)+f(t)=1$ και για $y=t \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2} , \forall x \in R$ , η οποία εύκολα επαληθεύει την αρχική.

(b) f(0)=0

Στην

, $f(0)=0 \Rightarrow 4f(x)^2=f(2x^2)$ και για $x=\frac{1}{2} \Rightarrow f(\frac{1}{2})=0$ ή $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$

(b.1) $f(\frac{1}{2})=0$

Στην (1)

για $x=z= \frac{1}{2} \Rightarrow f(\frac{y-t}{2})+f(\frac{y+t}{2})=0$ και για $y=t \Rightarrow f(x)=0, \forall x \in R$ , που επαληθεύει την αρχική.

(b.2) $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$

Στην (*)

για $x=z= \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{f(y)+f(t)}{2}=f(\frac{y-t}{2})+f(\frac{y+t}{2})$ (2)

Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η

είναι άρτια. Στην (*)

για $x=y=0 \Rightarrow f(z) f(t)=f(-zt)$ , για κάθε πραγματικούς z,t

. Όμοια, για $z=t=0 \Rightarrow f(x) f(y)=f(xy)$ , για κάθε πραγματικούς x,y

. Tελικά

και αφού το

παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, f(x)=f(-x)

. Eπίσης, φαίνεται ότι η

είναι πολλαπλασιαστική.

Θα αποδείξουμε ότι f(q)=q^2

για κάθε ρητό

(Αφού η συνάρτηση είναι άρτια, αρκεί να το αποδείξουμε για θετικούς ρητούς)
Επαγωγικά αποδεικνύεται εύκολα ότι f(k)=k^2

για κάθε ακέραιο

. (H base case k=1,k=2

προκύπτει εύκολα από τη σχέση (2)

)

Eπίσης ,αφού

πολλαπλασιαστική έχουμε $f(n) f(\frac{1}{n})=f(1)=1 \Rightarrow f(\frac{1}{n})=(\frac{1}{n})^2$

Tέλος , $f(\frac{k}{m})=f(k \cdot \frac{1}{m})=f(k)f)(\frac{1}{m})=(\frac{k}{m})^2$

Θα αποδείξουμε επίσης ότι

αύξουσα. Πάλι αρκεί να το δείξουμε στους θετικούς πραγματικούς

πολλαπλασιαστική, άρα $f(x) \geq 0$ για $x \geq 0$ και αφού f άρτια, έχουμε $f(x) \geq 0$ για κάθε

.Έστω

τυχαίο θετικοί. Στην (*)

θέτοντας $x=1,y\rightarrow zt$ έχουμε [1+f(z)][f(zt)+f(t)]=f(t+z^2t)

Εύκολα προκύπτει ότι $[1+f(z)][f(zt)+f(t)] \geq f(t)$ άρα $f(t+z^2t) \geq f(t)$ και αφού η παράσταση z^2t

μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή, έχουμε $f(t+x) \geq f(t)$ για κάθε

θετικό, άρα η

είναι αύξουσα.

Η πυκνότητα του συνόλου

στο

μας επιτρέπει να διαλέξουμε μια γνησίως αύξουσα ακολουθία (p_n)

που τείνει στον τυχαίο πραγματικό

από αριστερά και μια γνησίως φθίνουσα ακολουθία (q_n)

που τείνει στο

από δεξιά. Για

θετικό,

$p_n \leq x \leq q_n \Rightarrow f(p_n) \leq f(x) \leq f(q_n) \Rightarrow p_n^2 \leq x^2 \leq q_n^2$

Θέτοντας το

να τείνει στο άπειρο, έχουμε f(x)=x^2

για κάθε

θετικό, που λόγω αρτιότητας σημαίνει ότι f(x)=x^2

για κάθε

διάφορο του

. Αφού

, έχουμε

για κάθε πραγματικό

Και αυτή η συνάρτηση εύκολα επαληθεύει την αρχική.

Τελειώσαμε.

Φιλικά,
Νίκος.

Υ.Γ. Άλλες λύσεις μπορούν να βρεθούν εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 72#p118703

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση