Συναρτησιακή 184

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)f(y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)f(y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Θέτω στη δοθείσα g(x)=h(x)-1

και έχω

$\displaystyle{f(x)f(y)=\left(h(x)-1\right)\left(h(y)-1\right)+h(x)+h(y) -2 \Rightarrow f(x)f(y)=h(x)h(y)-1}$ (2)

Η (2) για $\displaystyle{y=x}$ δίνει

$\displaystyle{f^2(x)=h^2(x)-1 \Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{h^2(x)-1}}$ με $\displaystyle{\left|h(x)\right| \ge 1}$

Η (2) δίνει $\displaystyle{\left(\pm \sqrt{h^2(x)-1}\right)\left(\pm \sqrt{h^2(y)-1}\right)=h(x)h(y)-1}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left(h^2(x)-1\right)\left(h^2(y)-1\right)=h^2(x)h^2(y)-2h(x)h(y)+1}$

$\displaystyle{\Rightarrow ... \Rightarrow \left(h(x)-h(y)\right)^2=0 \Rightarrow h(x)=h(y), \forall x,y \in \mathbb{R}}$

Δηλαδή $\displaystyle{h(x)=c, \forall x \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\left|c\right| \ge 1}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{\left(\pm \sqrt{c^2-1}\right)\left(\pm \sqrt{c^2-1}\right)=c^2-1}$ (3)

Αν η $\displaystyle{f}$ παίρνει στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ τιμές ετερόσημες, τότε από την (3) παίρνουμε

$\displaystyle{-c^2+1=c^2-1 \Rightarrow c=\pm1}$ , και σ'αυτή την περίπτωση έχουμε

$\displaystyle{\left(f(x),g(x)\right)=(0,-2) \vee \left(f(x),g(x)\right)=(0,0) \forall x \in \mathbb{R}}$

Αν η $\displaystyle{f}$ δεν παίρνει στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ τιμές ετερόσημες, τότε από την (3) παίρνουμε

$\displaystyle{c^2-1=c^2-1}$ , που αληθεύει πάντα.

Σε αυτήν την περίπτωση

$\displaystyle{\left(f(x),g(x)\right)=(\sqrt{c^2-1},c-1) \vee \left(f(x),g(x)\right)=(-\sqrt{c^2-1},c-1) \forall x \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\left|c\right| \ge 1}$

Όλες επαληθεύουν την αρχική

Συναρτησιακή 184

Συναρτησιακή 184

Re: Συναρτησιακή 184

Μέλη σε σύνδεση