Εύρεση συνάρτησης - Συναρτησιακή

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις

με πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ που έχουν την ιδιότητα :

x^2+y^2+2f(x)f(y) = f(x+y)(f(x)+f(y))

για όλες τις τιμές των x,y

.

Μπάμπης

#2

Για

προκύπτει

για κάθε $x\in \mathbb R.$ (1)

Η (1) αν θέσουμε όπου

το

δίνει

για κάθε $x\in \mathbb R.$ (2)

Για y=-x

στην αρχική και λαμβάνοντας υπ΄όψιν τις (1), (2) προκύπτει 2x^2+2f(x)f(-x)=f(0)f(x)+f(0)f(-x))=f^2(x)-x^2+f^2(-x)-x^2

.

Άρα

για κάθε $x\in \mathbb R.$ (3)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) και λαμβάνοντας υπ΄ όψιν ότι $f(x)-f(-x)\neq0$ για κάθε $x\neq0$

προκύπτει ότι f(x)+f(-x)=f(0)

για κάθε $x\neq0$ . (4)

Η (3) λόγω της (4) γίνεται [2f(x)-f(0)]^2=4x^2

οπότε λόγω της (1) f(0)=0

.

Η (1) τώρα δίνει ότι για κάθε $x\in \mathbb R$ f(x)=x

ή

.

Έστω ότι υπάρχουν x,y

μη μηδενικοί ώστε f(x)=x

και

.

Τότε από την αρχική προκύπτει f(x+y)=x-y

αφού $x\neq y$ .

Όμως f(x+y)=x+y

ή

όπότε

ή

, άτοπο.

Άρα f(x)=x

για κάθε $x\in \mathbb R$ ή f(x)=-x

για κάθε $x\in \mathbb R.$

#3

Μπορούμε να λύσουμε το συγγενές πρόβλημα;

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις

με πεδίο ορισμού το $(0,+\infty)$ που έχουν την ιδιότητα :

x^2+y^2+2f(x)f(y) = f(x+y)(f(x)+f(y))

για όλες τις τιμές των x,y>0

.

Εύρεση συνάρτησης - Συναρτησιακή

Εύρεση συνάρτησης - Συναρτησιακή

Re: Εύρεση συνάρτησης - Συναρτησιακή

Re: Εύρεση συνάρτησης - Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση