Απο διεθνή διαγωνισμό Archimedes 2011

chris · #1

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί a,b,c

που είναι τέτοιοι ώστε a+b+c=1

.Να αποδειχθεί οτι:

$\displaystyle \frac{a}{a^3+b^2c+c^2b}+\frac{b}{b^3+c^2a+a^2c}+\frac{c}{c^3+a^2b+b^2a}\leq 1+\frac{8}{27abc}$

kwstas12345 · #2

Από την ανισότητα Caychy-Swarz: $\displaystyle \left(a^3+b^2 c+c^2 b \right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\geqslant \left(a+b+c \right)^2,$ $\displaystyle \left(b^3+a^2 c+c^2 a \right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\geqslant \left(a+b+c \right)^2$ και $\displaystyle \left(c^3+b^2 a+a^2 b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\geqslant \left(a+b+c \right)^2$ .

Άρα $\displaystyle LHS\leqslant \sum{a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ . Αρκεί $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 1+\frac{8}{27abc}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle 27\sum{ab}\leqslant 27abc+8$ .

Ομογενοποιώντας αρκεί $\displaystyle 27\sum{a}\sum{ab}\leqslant 27abc+8\left(\sum{a} \right)^3\Leftrightarrow 8\sum{a^3}\geqslant 3\prod{(a+b)}$ 'Ομως από ΑΜ-ΓΜ: $\displaystyle 3\prod{\left(a+b \right)}\leqslant \frac{8}{9}$ και από την ανισότητα των δυνάμεων $\displaystyle \prod{\left(a+b \right)}\leqslant \frac{8}{27}$ .

Άρα $\displaystyle 8\sum{a^3}\geqslant \frac{8}{9}\geqslant 3\prod{\left(a+b \right)}$ και το ζητούμενο έπεται. H ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

Απο διεθνή διαγωνισμό Archimedes 2011

Απο διεθνή διαγωνισμό Archimedes 2011

Re: Απο διεθνή διαγωνισμό Archimedes 2011

Μέλη σε σύνδεση