Συναρτησιακή 259

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle \frac{\sqrt{y}}{2-y}f\left(\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}\right)\leq \frac{f(xy)}{(2-y)^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{y}{\sqrt{2-y}}f\left(\frac{x}{2-y}\right) ,$

για κάθε $x \in (0,\infty)$ και για κάθε $y \in (0,2) .$

#2

Μία λύση από τον Νίκο Ζανταρίδη

Η δοθείσα γράφεται

(1) $\displaystyle{\sqrt{y(2-y)}f\left(x\sqrt{\frac {y}{2-y}}\right) \le f(xy) \le y(2-y)f \left(\frac {x}{2-y}\right)}$

για κάθε $x \in (0,\infty)$ και για κάθε $y \in (0,2) .$

Στην (1) θέτουμε x=2-y

και βρίσκουμε

$f\left(y(2-y)\right) \le f(1)y(2-y) \Rightarrow f(x) \le f(1)x, \forall x \in (0,1]$ (a)

(Αφού το σύνολο τιμών της $h(y)=y(2-y), y \in (0,2)$ είναι το (0,1])

Από την (1) για $\displaystyle{x=\sqtrt{\frac {2-y}{y}}, y \in (0,2)}$ παίρνουμε

$\displaystyle{f\left(\sqrt{y(2-y)}\right) \ge f(1) \sqrt{y(2-y)}, \forall y \in (0,2)}$ , άρα

$\displaystyle{f(x) \ge f(1)x, \forall x \in (0,1]}$ (b)

Από (a) και (b) έχουμε $f(x)=f(1)x, \forall x \in (0,1]$

Από την (1) για $x=\frac {1}{y}$ παίρνουμε

$\displaystyle{\sqrt{y(2-y)}f\left(\frac {1}{y}\sqrt{\frac {y}{2-y}}\right) \le f\left(\frac {1}{y}y\right) \le y(2-y)f \left(\frac {1}{y(2-y)}\right)}$ , δηλαδή

$\displaystyle{f\left(\frac {1}{\sqrt{y(2-y)}\right) \le f(1) \frac {1}{\sqrt{y(2-y)}}, \forall y \in (0,2)}$ και

$\displaystyle{f\left(\frac {1}{y(2-y)}\right) \ge f(1)\frac {1}{y(2-y)}, \forall y \in (0,2)}$ , δηλαδή

$\displaystyle{f(x) \le f(1)x \wedge f(x) \ge f(1)x, \forall x \in [1,+\infty) \Rightarrow f(x)=f(1)x ,\forall x \in [1,+\infty)}$ (c)

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $f(x)=ax, \forall x>0$ , όπου

μια θετική σταθερά, η οποία επαληθεύει την αρχική.

Συναρτησιακή 259

Συναρτησιακή 259

Re: Συναρτησιακή 259

Μέλη σε σύνδεση