Συναρτησιακή 286

#1

Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα P(x)

τέτοια ώστε $P(2P(x)) = 2P(P(x))+2(P(x))^{2} .$

#2

Ας ψάξουμε αρχικά για πολυώνυμα βαθμού n>2

, δηλαδή

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ . Τότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του πρώτου μέλους είναι

$2^na_n^{n+1}x^{n^2}$ και του 2ου μέλους $2a_n^{n+1}x^{n^2}$ , συνεπώς

$2^na_n^{n+1}=2a_n^{n+1} \Rightarrow 2^{n-1}=1$ , άτοπο.

Άρα δεν υπάρχουν πολυ'ωνυμα βαθμού n>2

με τη ζητούμενη ιδιότητα.

Ας ψάξουμε για πολυώνυμα 2ου βαθμού

p(x)=ax^2+bx+c

, οπότε η δοθείσα γράφεται

$a\left(2ax^2+2bx+2c\right)^2+b(2ax^2+2bx+2c)+c$

$=2a\left(ax^2+bx+c\right)^2+2b\left(ax^2+bx+c\right)+2c+2\left(ax^2+bx+c\right)^2$

Αν εξισώσουμε τους μεγιστοβάθμιους όρους βρίσκουμε a=1

και αν εξισώσουμε τους σταθερούς βρίσκουμε

c=0

. Άρα η δοθείσα αληθεύει για κάθε $b \in \mathbb{R}$

Η δοθείσα βλέπουμε ότι δεν επαληθεύει με πολυώνυμα 1ου βαθμού.

Επίσης την επαληθεύουν τα σταθερά με c=0

ή $c=-\frac {1}{2}$

Συναρτησιακή 286

Συναρτησιακή 286

Re: Συναρτησιακή 286

Μέλη σε σύνδεση