Σύστημα

#1

Αν $a,b \in [1, +\infty)$ και $a \neq b$ . Να λυθεί στους θετικούς το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} x^a\left(y^b-x^b\right)=2^b-1\\ x^b\left(y^a-x^a\right)=2^a-1 \end{cases}}$
Διόρθωσα την δεύτερη εξίσωση, που την έγραψα αρχικά λάθος. Ευχαριστώ τον θάνο που μου το υπέδειξε και ζητώ συγνώμην από όσους ταλαιπώρησα.

#2

Επαναφορά

#3

Μοναδική λύση η x=1

,

:

Θέτοντας y=rx

το σύστημα ανάγεται στο $(r^{b}-1)x^{a+b}=2^{b}-1$ , $(r^{a}-1)x^{a+b}=2^{a}-1$ . Με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει η $\frac{r^{b}-1}{r^{a}-1}=\frac{2^{b}-1}{2^{a}-1}$ , αρκεί επομένως να αποδείξουμε ότι η $f(x)=\frac{x^{b}-1}{x^{a}-1}$ * είναι μονότονη για x>0

(οπότε

και $x^{a+b}=1$ , άρα x=1

). Επειδή $f'(x)=\frac{(b-a)x^{a+b-1}-bx^{b-1}+ax^{a-1}}{(x^{a}-1)^{2}}$ , αρκεί να δείξουμε ότι δεν αλλάζει πρόσημο ο αριθμητής. Θέτοντας $g(x)=(b-a)x^{b}-bx^{b-a}+a$ παρατηρούμε ότι g(1)=0

και $g'(x)=b(b-a)x^{b-a-1}(x^{a}-1)$ , άρα είτε $g(x)\geq0$ για κάθε x>0

(αν

) είτε $g(x)\leq0$ για κάθε x>0

(αν

) -- και βέβαια τα ίδια ισχύουν για τον αριθμητή που μας ενδιαφέρει (ίσος προς $x^{a-1}g(x)$ ).

*ας σημειωθεί εδώ ότι αν ορίσουμε $f(1)=\frac{b}{a}$ τότε η f(x)

είναι όχι μόνο συνεχής στο

μα και παραγωγίσιμη, με $f'(1)=\frac{b^{2}-ab}{2a}$ -- μία πολύ όμορφη άσκηση (όχι βέβαια σε Ολυμπιακό επίπεδο).

Γιώργος Μπαλόγλου

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση