Συναρτησιακή...

#1

Με αφορμή το θέμα εδώ, προέκυψε η επόμενη συναρτησιακή, από το Νίκο Ζανταρίδη (nikoszan):

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$ και $f(x)+3f(x^{2})=5f(x^{3}) ,$ για κάθε $x\geq 0.$

(Δηλαδή, χωρίς το

στο όρισμα του β' μέλους.)

mathxl · #2

Μία προσπάθεια. Έστω $\displaystyle{\alpha > 0}$ τότε η συνάρτηση μας περιορισμένη στο $\displaystyle{\left[ {0,\alpha } \right]}$
θα έχει μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη τιμή m
Αν είναι $\displaystyle{{x_1}}$ η θέση του μεγίστου τότε ισχύει
$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {\sqrt[3]{{{x_1}}}} \right) \le M} \\ {3f\left( {\sqrt[3]{{x_1^2}}} \right) \le 3M} \\ \end{array}} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^ + 5f\left( {\sqrt[3]{{x_1^3}}} \right) \le 4M \Rightarrow 5M \le 4M \Rightarrow M \le 0}$
Όμως για $\displaystyle{x = 0}$ από την συναρτησιακή προκύπτει $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$
και από τον ορισμό του μεγίστου ότι $\displaystyle{f\left( 0 \right) \le M \Rightarrow 0 \le M}$

Συνεπώς $\displaystyle{M = 0}$
Ομοίως μπορούμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{m = 0}$
Άρα η συνάρτηση μας είναι η μηδενική, που ικανοποιεί τις προυποθέσεις της άσκησης μας στο $\displaystyle{\left[ {0,\alpha } \right]}$ . Επειδή το $\displaystyle{\alpha }$ επιλέχτηκε κατά τυχαίο τρόπο, αν υποθέσουμε ότι ύπάρχει κάποια τιμή της f μη μηδενική εκτός του $\displaystyle{\left[ {0,\alpha } \right]}$ τότε μπορούμε να επιλέξουμε ακόμη μεγαλύτερο $\displaystyle{\alpha }$ που θα συμπεριλαμβάνει την θέση αυτή και να καταλήξουμε σε άτοπο. Συνεπώς είναι μηδενική στο $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$

Συναρτησιακή...

Συναρτησιακή...

Re: Συναρτησιακή...

Μέλη σε σύνδεση