Συναρτησιακή 331

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(0)=0

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=420317

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (2) και (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=420317

Η (1) για

δίνει $f(f(f(y)))=-y, \forall y \in \mathbb{R}$ (3)

Από την (3) εύκολα προκύπτουν ότι η

είναι 1-1 και περιττή.

Η (1) για y=f(x)

δίνει

$f\left(xf(f(x))\right)=-f(xf(x)) \Rightarrow f\left(xf(f(x))\right)=f(-xf(x))$

$\Rightarrow xf(f(x))=-xf(x) \Rightarrow f(f(x))=f(-x), \forall x \neq 0 \Rightarrow f(x)=-x, \forall x \neq 0$

και επειδή f(0)=-0

έχουμε ότι $f(x)=-x, \forall x \in \mathbb{R}$ , που επαληθεύει την αρχική.

Συναρτησιακή 331

Συναρτησιακή 331

Re: Συναρτησιακή 331

Μέλη σε σύνδεση