Συναρτησιακή 333

#1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to{{\mathbb{R}}^{+}}$ τέτοια ώστε f(x+y)>f(x)(1+yf(x)) ,

για κάθε $x,y\in{{\mathbb{R}}^{+}} .$

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=421476

Παναγιώτης 1729 · #2

Είναι

(1) και θα αποδείξουμε ότιο δεν υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί την τελευταία ανισότητα.
Αν σταθεροποιήσουμε τον x βλέπουμε ότι για αρκετά μεγάλο y η συνάρτηση λαμβάνει αυθαίρετα μεγάλες τιμές. Άρα υπάρχει x_0

με

.
Επαγωγικά θα δείξω ότι αν k,n θετικοί ακέραιοι τότε: $\displaystyle f(x+\frac{k}{n})>\frac{f(x)^{2^k}}{n^{2k-1}}$ . Η απόδειξη είναι απλή (επαγωγή στον k): Για k=1

αν θέσω $y=\frac{1}{n}$ παίρνω απευθείας το ζητούμενο από την (1).
Για την επαγωγή (περιγραφικά):Αν ισχύει για τον k θέτω x το $x+\frac{1}{n}$ στην ανισότητα που ισχύει για τον κ και χρησιμοποιώ την ανισότητα που ισχύει όταν k=1.
Για k=n

είναι: $\displaystyle f(x+1)>\frac{f(x)^{2^n}}{n^{2n-1}}$ .
Για x το x_0

: $\dislpaystyle f(x_0+1)>\frac{3^{2^n}}{n^{2n-1}}$ , άτοπο, διότι αν $\displaystyle a_n=\frac{3^{2^n}}{n^{2n-1}}$ , τότε $lna_n=2^nln3-(2n-1)lnn>2^n-(2n-1)n\rightarrow\infty$ και επομένως $a_n\rightarrow\infty$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=484060&

Συναρτησιακή 333

Συναρτησιακή 333

Re: Συναρτησιακή 333

Re: Συναρτησιακή 333

Μέλη σε σύνδεση