Συναρτησιακή ανίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-y)-xf(y)\leq 1-x ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Παναγιώτης 1729 · #2

Για

έχω $f(0)\leq{1}$ .
Για x=y=2

έχω $\displaystyle f(2)\geq{\frac{f(0)+1}{2}}$ .
Για x=2,y=0

έχω: $f(2)\leq{2f(0)-1}$ .
Άρα $\displaystyle 2f(0)-1\geq{\frac{f(0)+1}{2}}$ . Αυτή δίνει $f(0)\geq{1}$ , άρα f(0)=1

.
Για

έχουμε $f(x)\leq{1}$ .
Για x=y=t>0

έχουμε $t(f(t)-1)\geq{0}$ , άρα $f(t)\geq{1})$ , οπότε f(t)=1

.
Για

και

έχω $(y+t)(f(y)-1)\geq{0}$ , άρα $f(y)\geq{1}$ , οπότε f(y)=1

.
Άρα,

για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Η επαλήθευση είναι απλή.

#3

Άλλη μια λύση:
viewtopic.php?f=111&t=30810

raf616 · #4

Αν και έχει περάσει καιρός, μία διαφορετική λύση:

Για x = 1

έχουμε $f(1-y) \leq f(y)$ και σ' αυτήν για $y \rightarrow 1 - y$ παίρνουμε $f(y) \leq f(1-y)$ και άραι $f(x) = f(1 - x), \forall x \in \Bbb{R}$ .

H αρχική για χ = 0

θα δώσει $f(-y) \leq 1 \implies f(x) \leq 1, \forall x \in \Bbb{R}$ .

Για $x \rightarrow 2x$ έχουμε $(1-2x)f(x) \leq (1-2x)$ .

Αν $x > \dfrac{1}{2}$ τότε έχουμε $f(x) \geq 1$ και άρα $f(x) = 1, \forall x > \dfrac{1}{2}$ .

Επειδή $x > \dfrac{1}{2}$ θέτω $x = u + \dfrac{1}{2}, u > 0$ και άρα:

$1 = f(x) = f(u + \dfrac{1}{2}) = f(-u + \dfrac{1}{2})$ και αφού u > 0

το $-u + \dfrac{1}{2}$ σαρώνει όλες τις τιμές μικρότερες του $\dfrac{1}{2}$ και άρα

$f(x) = 1, \forall x \neq \dfrac{1}{2}$ . Η τελευταία προκύπτει από το γεγονός ότι f(x) = f(1-x)

.

Ισχύει όμως $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \leq 1$ και για $x = 2, y = \dfrac{1}{2}$ προκύπτει $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \geq 1$ και άρα $f(x) = 1, \forall x \in \Bbb{R}$ , επαληθεύει.

Συναρτησιακή ανίσωση

Συναρτησιακή ανίσωση

Re: Συναρτησιακή ανίσωση

Re: Συναρτησιακή ανίσωση

Re: Συναρτησιακή ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση