Συναρτησιακή 367

#1

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοια ώστε $(x+y)f(f(x)y)=x^{2}(f(f(x)+f(y))$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+ ;$

$\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$

#2

Είπα να την πέσω για ύπνο αλλά με αφήνει ο Θανάσης;
Θέτει υπαρξιακό ερώτημα συνάρτησης και με έπιασαν τα υπαρξιακά μου κι εμένα στο προσκέφαλο της κλίνης μου...
Ας δεχτούμε πως υπάρχει τέτοια συνάρτηση...
Θέτω όπου $\displaystyle{ y = 1 }$ .
Λαμβάνω:
$\displaystyle{ (x + 1)f(f(x)) = x^2 (f(f(x)) + f(1)) \Rightarrow (x^2 - x - 1)f(f(x)) = - f(1)x^2 }$
Αν θέσω τώρα όπου $\displaystyle{ x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} > 0 }$ λαμβάνω χωρίς κόπο $\displaystyle{ f(1) = 0 }$ .Άτοπο αφού έχει δοθεί $\displaystyle{ f(x) > 0 }$
Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση!
Καληνύχτα(μέχρι νεωτέρας!)
Υ.Γ:Η τιμή που έδωσα δεν είναι διαστημική,απλά είναι η θετική ρίζα του τριωνύμου στο πρώτο μέλος.

Συναρτησιακή 367

Συναρτησιακή 367

Re: Συναρτησιακή 367

Μέλη σε σύνδεση