Συναρτησιακή!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x))+y^{2}=f(x+yf(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x))+y^{2}=f(x+yf(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ (1)

H (1) για

δίνει $f(f(x))=f(x), \forall x \in \mathbb{R}$ (2)

Άρα η (1) γίνεται f(x)+y^2=f(x+yf(y))

(3)

Συνεπώς για x=0

η (3) γίνεται f(0)+y^2=f(yf(y))

(4)

Συνεπώς αν $a \ge f(0)$ , τότε για $y=y_1=\sqrt{a-f(0)}$ Η (4) δίνει

a=f(y_1f(y_1))

, δηλαδή κάθε $a \in [f(0),+\infty)$ , μπορεί να γραφεί ως f(x)

, άρα

$f(a)=a, \forall a \in [f(0), +\infty)$

Έστω $y_1 \ge max\{1,f(0)\}$ , τότε η (4) γράφεται $f(0)+y_1^2=f(y_1^2) \Rightarrow f(0)=0$

Δηλαδή $f(x)=x, \forall x \ge 0$

Τώρα η (3) για x=-yf(y)

δίνει $f(-yf(y))=-y^2, \forall y>0 \Rightarrow f(-y^2)=-y^2$

Συνεπώς $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ , που επαληθεύει την αρχική

kwstas12345 · #3

Βάζω άλλη μια λύση, διαφορετική από του κ. Σπύρου (νομίζω).

Αρχικά θέτοντας όπου $\displaystyle y=0$ βρίσκουμε $\displaystyle f\left(f\left(x \right) \right)=f\left(x \right), \forall x \in \mathbb{R}$ άρα $\displaystyle f\left(x \right)+y^2=f\left(x+yf\left(y \right) \right)\Rightarrow f\left(f\left(x \right)+y^2 \right)=f\left(f\left(x+yf\left(y \right) \right) \right)$ $\displaystyle \Rightarrow f\left(f\left(x \right)+y^2 \right)=f\left(x+yf\left(y \right) \right)=y^2+f\left(x \right)$ .

Στην τελευταία θέτουμε x=1

άρα $\displaystyle f\left(x^2+f\left(1 \right) \right)=x^2+f\left(1 \right)$ . Θέτουμε στην αρχική $\displaystyle x:=x^2,y=1\Rightarrow f\left(x^2+f\left(1 \right) \right)=f\left(x^2 \right)+1$ έτσι έχουμε $\displaystyle f\left(x^2 \right)=x^2+f\left(1 \right)-1, \forall x \in \mathbb{R}$ .

Θα ασχοληθούμε αρχικά για $\displaystyle x \in \left[0,\infty \right)$ .Εύκολα βλέπουμε πως η

είναι

από την παραπάνω, για $\displaystyle x \in \left[0,\infty \right)$ . Εύκολα βλέπουμε $\displaystyle f\left(0 \right)=f\left(1 \right)-1$ οπότε θέτωντας στην αρχική $\displaystyle y=f \left(0 \right),x=1\Rightarrow f\left(f^2 \left(0 \right)+1 \right)=f\left(1 \right)+\left(f\left(1 \right)-1 \right)^2>0$ .

Άρα $\displaystyle f\left(f\left(f^2\left(0 \right)+1 \right) \right)=f\left(f^2\left(0 \right)+1 \right)$ και επειδή $\displaystyle f\left(f^2\left(0 \right)+1 \right)>0$ θα είναι $\displaystyle f\left(f^2 \left(0 \right)+1 \right)=f^2 \left(0 \right)+1=f\left(1 \right)+f^{2}\left(0 \right)\Rightarrow f\left(1 \right)=1$ και $f\left(0 \right)=0$ και έτσι $\displaystyle f\left(x^2 \right)=x^2\Rightarrow f\left(x \right)=x, \forall x \in \left[0,\infty \right)$ .

Στη αρχική για $\displaystyle x:=-yf\left(y \right)$ έχουμε $\displaystyle f\left(-yf\left(y \right) \right)=-y^2$ και για $\displaystyle y \in \left[0,\infty \right)$ έχουμε $\displaystyle f\left(-y^2 \right)=-y^2$ από εδώ εύκολα βλέπουμε για $\displaystyle f\left(x \right)=x, x \leqslant 0$ μιας και κάθε $\displaystyle x \in \left(-\infty,0 \right]$ γράφεται στην μορφή $\displaystyle x=-y^2, y\geqslant 0$ .

Τελικά $\displaystyle f\left(x \right)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ η οποία επαλυθεύει (εύκολα) την αρχική.

#4

Προσθέτω και μια ακόμα λύση

Θέτουμε στην δοσμένη σχέση όπου y=0

και παίρνουμε f(f(x))=f(x)

για κάθε $x\epsilon R$ (1)

Τότε η δοσμένη σχέση γράφεται: $f(x)+y^{2}=f(x+yf(y))$ (2)

Θέτουμε στην (2) όπου

το

και παίρνουμε

$f(f(x))+y^{2}=f(f(x)+yf(y))\Rightarrow f(x)+y^{2}=f(f(x)+yf(y))\Rightarrow$

$f(f(x)+y^{2})=f(f(f(x)+yf(y)))\Rightarrow f(f(x)+y^{2})=f(x)+yf(y)$ (3)

Επίσης από την σχέση (2) έχουμε

$f(f(x))+y^{2}=f(f(x+yf(y))\Rightarrow f(f(x)+y^{2})=x+yf(y)$ (4)

Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι

f(x)+yf(y)=x+yf(y)

και άρα

για κάθε $x\epsilon R$

και η σχέση που βρήκαμε βλέπουμε ότι επαληθεύει την δοσμένη

#5

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x))+y^{2}=f(x+yf(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

έχουμε

Αρκεί να δείξουμε ότι η

είναι επί.
Αυτό προκύπτει από τις σχέσεις f(x)+y^2=f(x+yf(y))

και

(γιατί;)

#6

Μπορούμε να λύσουμε και το παρόμοιο

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(f(x))+y^{2}=f(x+yf(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δείτε:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1061752

Συναρτησιακή!

Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση