Ζεύγος συναρτησιακών από τη Βουλγαρία!

#1

A)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) \geq 0,$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

B)
Θεωρούμε μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+.$

Να δείξετε ότι υπάρχουν x,y,z>0

τέτοιοι ώστε

$(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) < 0.$

#2

socrates έγραψε:A)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) \geq 0,$ (1) για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

B)
Θεωρούμε μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+.$

Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοιοι ώστε

$(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) < 0.$

Έστω $x \neq 0$

Τότε η (1) για y=1

και $z=\frac {1}{x}$ γράφεται

$[f(1)-f(x)][f(x)+f\left(\frac {1}{x}\right)-2f(1)] \ge 0$ (2)

Αν $f(x) \ge f(1)$ , τότε $f(x)+f\left(\frac {1}{x}\right) \le 2f(1) \Rightarrow f\left(\frac {1}{x}\right) \le f(1)$

Όμοίως αν $f(x) \le f(1)$ , τότε $f\left(\frac {1}{x}\right) \ge f(1)$

Δηλαδή $[f(x)-f(1)][f\left(\frac {1}{x}\right)-f(1)] \le 0$ (3)

Εξ' άλλου από την αρχική προκύπτουν οι σχέσεις

$\left[f(1)-f(x)\right]\left[f(x)+f(z)-2f(xz)\right] \ge 0$ (4) και

$\left[f(1)-f\left(\frac {1}{x}\right)\right]\left[f\left(\frac {1}{x}\right)+f(z)-2f\left( \frac {z}{x}\right)\right] \ge 0$ (5)

Οι σχέσεις (4) και (5), λόγω της (3) δίνουν

$\left[f(x)+f(z)-2f(xz)\right]\left[f\left(\frac {1}{x}\right)+f(z)-2f\left( \frac {z}{x}\right)\right] \le 0$ (6)

Και αν στην (6) βάλουμε όπου

το 1 βρίσκουμε $\left[f(1)-f(z)\right]^2 \le 0 \Rightarrow f(z)=f(1), \forall z \in \mathbb{R}$

Τώρα το β) είναι άμεση συνέπεια του α) και προκύπτει με απαγωγή σε άτοπο.

Να γίνω πιο αναλυτικός:

Αν για κάθε $x,y,z \in (0,+\infty)$ ισχύει

$(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) \geq 0,$ , τότε με την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι η

είναι σταθερή στο

$(0,+\infty)$ , το οποίο είναι άτοπο, άρα το ζητούμενο είναι προφανές.

Ζεύγος συναρτησιακών από τη Βουλγαρία!

Ζεύγος συναρτησιακών από τη Βουλγαρία!

Re: Ζεύγος συναρτησιακών από τη Βουλγαρία!

Μέλη σε σύνδεση