Όμορφο αποτέλεσμα

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x^{2})=f(x)^{2}, \ \forall x\in\mathbb{R}$ και

$f(x+1)=f(x)+1, \ \forall x\in\mathbb{R}.$

#2

Από την

παίρνουμε $f(y) \geqslant 0$ για κάθε $y \geqslant 0$ .

Έστω ότι υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ με x > f(x)

. Τότε για κάθε $n \in \mathbb{N}$ έχουμε

$\displaystyle{ (x+n)^2 - f((x+n)^2) = (x+n)^2 - f(x+n)^2 = (x+n - f(x+n))(x+n+f(x+n)) = (x-f(x))(x+f(x) + 2n)}$

Επιλέγοντας

αρκετά μεγάλο και θέτοντας z = (x+n)^2

παίρνουμε

. Θέτοντας τώρα $y = z - \lfloor z \rfloor$ έχουμε y > 0

αλλά $f(y) = f(z) - \lfloor z \rfloor < z - \lfloor z \rfloor - 1 < 0$ , άτοπο.

Άρα $f(x) \geqslant x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Έστω τώρα ότι υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ με x < f(x)

. Τότε

για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ και άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι f(x) < 0

. Αλλά τότε έχουμε x^2 > f(x)^2 = f(x^2)

, άτοπο.

Άρα f(x) = x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

chrislg · #3

υπάρχει πιο απλός τρόπος αντιμετώπισης ;

#4

Μερικά θέματα που λύνονται με το παραπάνω χρήσιμο λήμμα (Θέμα 382 στη συλλογή):

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+f(y))+f(xf(y))=y+f(x)+yf(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18500)

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y), \ \forall x,y\in\mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=409)

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση
$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=18620)

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^{2}+xf(y))=[f(x)]^{2}+yf(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17805)

Έστω η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοια ώστε f((x+1)f(y))=y(f(x)+1)

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}$ . Να βρείτε τον τύπο της

(viewtopic.php?f=111&t=3460&start=80#p65382)

Όμορφο αποτέλεσμα

Όμορφο αποτέλεσμα

Re: Όμορφο αποτέλεσμα

Re: Όμορφο αποτέλεσμα

Re: Όμορφο αποτέλεσμα

Μέλη σε σύνδεση