Κλασσική συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f\left(x+f(y)\right)=f(x+xy)+yf(1-x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kwstas12345 · #2

Θέτουμε αρχικά $\displaystyle x=y=0\Rightarrow f\left(f\left(0 \right) \right)=0$ . Για x=0

έχουμε $\displaystyle f\left(f\left(y \right) \right)=f\left(0 \right)+yf\left(1 \right)$ . Άν θέσουμε στην προηγούμενη $\displaystyle y=f\left(0 \right)$ βρίσκουμε $\displaystyle f\left(1 \right)f\left(0 \right)=0$ .

$\bullet$ Άν $\displaystyle f\left(0 \right)=0,f\left(1 \right)\neq 0$ έχουμε $\displaystyle f\left(f\left(y \right) \right)=yf\left(1 \right)$ και εύκολα βλέπουμε πως η

είναι

. Πηγαίνοντας στην αρχική για $\displaystyle x=1$ βρίσκουμε $\displaystyle f\left(f\left(y \right)+1 \right)=f\left(y+1 \right)\Rightarrow f\left(y \right)=y, \forall y \in \mathbb{R}$ που επαληθεύει την αρχική.

$\bullet$ Άν $\displaystyle f\left(1 \right)=0$ θέτωντας στην αρχική $\displaystyle x=1$ έχουμε $\displaystyle f\left(1+f\left(y \right) \right)=f\left(y+1 \right)+yf\left(0 \right)$ . Για $\displaystyle y=0$ στην προηγούμενη έχω $\displaystyle f\left(1+f\left(0 \right) \right)=0$ . Για $\displaystyle y:=f\left(y \right)$ έχω $\displaystyle f\left(1+f\left(0 \right) \right)=f\left(f\left(y \right)+1 \right)+f\left(0 \right)f\left(y \right)=f\left(y+1 \right)+f\left(0 \right)\left(y+f\left(y \right) \right)$ αφού $\displaystyle f\left(f\left(y \right) \right)=f\left(0 \right)$ .

Για y=0

στην προηγούμρνη έχω $\displaystyle f^2\left(0 \right)=0\Leftrightarrow f\left(0 \right)=0$ άρα $\displaystyle f\left(y+1 \right)=0\Rightarrow f\left(y \right)=0, \forall x \in \mathbb{R}$ που επαληθεέυει την αρχική σχέση.

Κλασσική συναρτησιακή

Κλασσική συναρτησιακή

Re: Κλασσική συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση