Περσική συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις επί συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι $\displaystyle{\boxed{f\left( 0 \right) = 0}}$ .

Έστω ( $\spadesuit$ ) η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Εφόσον η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι επί, θα υπάρχει $\displaystyle{a \in \mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f\left( a \right) = 0}$ .

Θέτοντας στην ( $\spadesuit$ ) $\displaystyle{x = y = a}$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f\left( {2a} \right) = 0}$ .

Θέτοντας στην ( $\spadesuit$ ) $\displaystyle{x = a}$ και $\displaystyle{y = 2a}$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f\left( {4a} \right) = 0}$ .

Θέτοντας στην ( $\spadesuit$ ) $\displaystyle{y = a}$ , βρίσκουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{\boxed{f\left( {x + f\left( x \right)} \right) = f\left( {2x} \right)}}$ (1).

Εφόσον η $\displaystyle{f}$ είναι επί, θα υπάρχει $\displaystyle{b \in \mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f\left( b \right) = - \frac{a}{2}}$ .

Θέτοντας στην ( $\spadesuit$ ) $\displaystyle{x = a}$ και $\displaystyle{y = b}$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f\left( 0 \right) = f\left( {2b} \right)}$ (2).

Θέτοντας στην ( $\spadesuit$ ) $\displaystyle{x = 2a}$ και $\displaystyle{y = b}$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f\left( {2a + f\left( {2a} \right) + 2f\left( b \right)} \right) = f\left( {4a} \right) + f\left( {2b} \right) \Leftrightarrow f\left( {2a - a} \right) = f\left( {2b} \right)}$ , οπότε $\displaystyle{f\left( {2b} \right) = 0}$ (3).

Από τις σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ .

Θέτοντας στην ( $\spadesuit$ ) όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{0}$ και όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{x}$ , βρίσκουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{\boxed{f\left( {2f\left( x \right)} \right) = f\left( {2x} \right)}}$ (4).

Λόγω της (4), η ( $\spadesuit$ ) γράφεται:

$\displaystyle{f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( y \right)} \right) = f\left( {2x} \right) + f\left( {2f\left( y \right)} \right)}$ .

Αφού η $\displaystyle{f}$ είναι επί, η τελευταία σχέση δίνει ότι για κάθε $\displaystyle{x, y \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{f\left( {x + f\left( x \right) + y} \right) = f\left( {2x} \right) + f\left( y \right)}$ (5).

Θέτοντας στην (5) $\displaystyle{y = - x}$ , βρίσκουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {2x} \right) + f\left( { - x} \right)}$ (6).

Θέτοντας στην (5) $\displaystyle{y = - f\left( x \right)}$ , βρίσκουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( {2x} \right) + f\left( { - f\left( x \right)} \right)}$ (7).

Θέτοντας στην (6) όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{f\left( x \right)}$ , βρίσκουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {2f\left( x \right)} \right) + f\left( { - f\left( x \right)} \right)}$ (8).

Από τις σχέσεις (4), (7) και (8) προκύπτει ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( x \right)}$ .

Εφόσον η $\displaystyle{f}$ είναι επί, θα έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ ισχύει:

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) = x}$ (9).

Θέτοντας στην (9) όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{2 f\left( x \right)}$ και χρησιμοποιώντας την (4) βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{2f\left( x \right) = f\left( {f\left( {2f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( {2x} \right)} \right) = 2x}$ ,

οπότε τελικά έχουμε ότι $\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = x}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ , η οποία επαληθεύει την ( $\spadesuit$ ).

#3

Ας δούμε και την... (νομίζω έχω λύση)

Να προσδιορίσετε όλες τις επί συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

#4

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις επί συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Επαναφορά!

#5

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις επί συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Περσική συναρτησιακή

Περσική συναρτησιακή

Re: Περσική συναρτησιακή

Re: Περσική συναρτησιακή

Re: Περσική συναρτησιακή

Re: Περσική συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση