Συναρτησιακή..

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy+x+y)+f(xy-x-y)=2(f(x)+f(y)), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

Από την αρχική σχέση για $\displaystyle{y=0}$ παίρνουμε

$\displaystyle{f(x)+f(-x)=2f(x)+2f(0)\Rightarrow f(-x)-f(x)=2f(0) (\ast) \ \forall x\in\mathbb{R}}$

Επίσης,για $\displaystyle{y=-1}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{f(-1))+f(1-2x)=2f(x)+2f(-1)\ \forall x\in\mathbb{R}$ απ'όπου έχουμε

$\displaystyle{f(1-2x)-2f(x)=f(-1) (\ast\ast) \ \forall x\in\mathbb{R}$

Η τελευταία σχέση που προέκυψε για $\displaystyle{x=1}$ δίνει

$\displaystyle{f(-1)-2f(1)=f(-1)\Rightarrow f(1)=0}$

Στην αρχική πάλι για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε

$\displaystyle{f(0)+f(0)=4f(0)\Rightarrow f(0)=0}$ που σημαίνει, λόγω της $\displaystyle{(\ast)}$

ότι η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια και άρα $\displaystyle{f(-1)=f(1)=0}$

Έτσι, η σχέση $\displaystyle{(\ast\ast)}$ δίνει $\displaystyle{f(1-2x)=2f(x)\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Αν θέσουμε τώρα όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{-x}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{f(1+2x)=2f(-x)=2f(x)=f(1-2x)\ \forall x\in\mathbb{R}}$

Για $\displaystyle{x\rightarrow \frac{x+1}{2}}$ είναι $\displaystyle{f(x+2)=f(x),x\in\mathbb{R}}$

Μέχρι στιγμής έχουμε αποδείξει τα εξής.

$\displaystyle{f(-1)=f(1)=f(0)=0\,,f\left(-x\right)=f(x)\,,x\in\mathbb{R}}$

$\displaystyle{f\left(2\,x-1\right)=2\,f(x)=f\left(2\,x+1\right)\,,x\in\mathbb{R}\,\,(I)}$

$\displaystyle{f\left(x+2\right)=f(x)\,,x\in\mathbb{R}\,\,(II)}$ .

Η σχέση $\displaystyle{(I)}$ για $\displaystyle{x\to x-1}$ δίνει

$\displaystyle{2\,f(x-1)=f\left(2\,x-2+1\right)\Leftrightarrow 2\,f(x-1)=f\left(2\,x-1\right)=2\,f(x)\Rightarrow f(x-1)=f(x)\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Η αρχική πάλι, για $\displaystyle{y=3}$ δίνει $\displaystyle{f\left(4\,x+3\right)+f\left(2\,x-3\right)=2\,f(x)+2\,f(3)}\,\,(III)}$ .

Οι σχέσεις $\displaystyle{(I)}$ , με τις αντικαταστάσεις $\displaystyle{x\to 2\,x+1\,\,,x\to x-1}$ γράφονται

$\displaystyle{2\,f\left(2\,x+1\right)=f\left(4\,x+3\right)\Rightarrow f\left(4\,x+3\right)=2\,f(2\,x+1)=4\,f(x)\,,x\in\mathbb{R}}$

$\displaystyle{f\left(2\,x-3\right)=2\,f(x-1)=2\,f(x)\,,x\in\mathbb{R}$ .

Με τη βοήθεια των τελευταίων, η $\displaystyle{(III)}$ δίνει

$\displaystyle{6\,f(x)=2\,f(x)+2\,f(3)\Leftrightarrow f(x)=\frac{f(3)}{2}=c\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Αφού $\displaystyle{f(0)=0}$ , έπεται ότι $\displaystyle{f(x)=0\,,x\in\mathbb{R}}$ , η οποία επαληθεύει.

#3

Συναρτησιακή..

Συναρτησιακή..

Re: Συναρτησιακή..

Re: Συναρτησιακή..

Μέλη σε σύνδεση