Συνήθους μορφής

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+f(y))+f(xf(y))=y+f(x)+yf(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Έχουμε

(1)

Η (1) για x=y=0

δίνει

(2)

H (1) για x=f(x)

δίνει

(3)

Η (3) για x=0

δίνει $f(f(0)+f(y))+f(f(0)f(y))=y, \forall y \in \mathbb{R}$ (4)

Από την (4) εύκολα συμπεραίνουμε ότι η

είναι 1-1 και επί.

Η (1) για x=1,y=0

δίνει $f(1+f(0))=f(1) \Rightarrow 1+f(0)=1 \Rightarrow f(0)=0$

Άρα η (1) για x=0

δίνει $f(f(y))=y, \forall y \in \mathbb{R}$ (5)

Η (1) για x=1,y=-1

δίνει $f(1+f(-1))-1=-1+f(1)-f(1) \Rightarrow f(1+f(-1))=f(0)$

$\Rightarrow f(-1)=-1$

Η (1) για x=y=-1

δίνει

$f(-2)+f(1)=-1 \Rightarrow f(f(-2)+f(1)))=-1$ (6)

Η (2) για x=-2, y=1

δίνει

$f(f(-2)+f(1))+f(f(-2)f(1))=-3 \Rightarrow f(f(-2)f(1))=-2=f(f(-2))$

$\Rightarrow f(-2)f(1)=f(-2) \Rightarrow f(1)=1$

Εξ' άλλου η αρχική αν βάλουμε όπου

το

δίνει

$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), \forall x,y$ (*)

Η (*) για y=-1

δίνει

(7)

Η (*) για x=1,y=-x

δίνει

(8)

(7)+(8) $\Rightarrow f(x-1)=-f(1-x)$ , άρα η

είναι περιττή.

Η (*) για y=-y

δίνει

(**)

Η (*) για x=-x

δίνει

(***)

(*)+(**) $\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$ (#)

(*)+(***) $\Rightarrow f(x+y)-f(x-y)=2f(y)$ (##)

(#)+(##) $\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ και από την (*) f(xy)=f(x)f(y)

Και αφού η

είναι συγχρόνως πολλαπλασιαστική και προσθετική θα έχουμε

$f(x)=0 \vee f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$

Αποκλειουμένου του πρώτου, για προφανείς λόγους, γίνεται δεκτό το δεύτερο, που επαληθεύει την αρχική.

Ελπίζω να είμαι σωστός, δεν έχω το κουράγιο να το ελέγξω

#3

Πολύ ωραία!

#4

Άλλη μια λύση:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=483271

Συνήθους μορφής

Συνήθους μορφής

Re: Συνήθους μορφής

Re: Συνήθους μορφής

Re: Συνήθους μορφής

Μέλη σε σύνδεση