Συνάρτηση σε πεπερασμένο σύνολο

#1

ένα σύνολο πραγματικών με

στοιχεία ( $n \ge 2$ ) και $f:A \to A$ συνάρτηση με την την ιδιότητα

$\left|f(x)-f(y)\right|<\left|x-y\right|, \forall x \neq y$

Να αποδειχθεί ότι η $f \circ f \circ ...\circ f$ (

φορές) είναι σταθερή

(Από κάποιο διαγωνοσμό του Αρχιμήδη)

#2

s.kap έγραψε: ένα σύνολο πραγματικών με στοιχεία ( $n \ge 2$ ) και $f:A \to A$ συνάρτηση με την την ιδιότητα

$\left|f(x)-f(y)\right|<\left|x-y\right|, \forall x \neq y$

Να αποδειχθεί ότι η $f \circ f \circ ...\circ f$ ( φορές) είναι σταθερή

Από όλες τις αποστάσεις |x-y|

με $x, y \in A$ , έστω |x_0-y_0|

η μικρότερη θετική (υπάρχει γιατί το

είναι πεπερασμένο).

Αφού $f(x_0), f(y_0) \in A$ και |f(x_0)-f(y_0)|<|x_0-y_0|

έπεται

. Αυτό δείχνει ότι το f(A)

έχει το πολύ n-1

στοιχεία.

Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία με το f(A)

στη θέση του

και δεδομένου ότι $f \circ f(A) \subseteq f(A)$ συμπεραίνουμε ότι το $f\circ f (A)$ έχει το πολύ n-2

στοιχεία.

Συνεχίζοντας το ίδιο συνολικά n-1

φορές, έπεται ότι το $f^{(n-1)}(A)$ έχει το πολύ (και άρα ακριβώς) ένα στοιχείο. Δηλαδή η $f^{(n-1)}$ είναι σταθερή. (Βελτιώσαμε λίγο το ζητούμενο).

Φιλικά,

Μιχάλης

Συνάρτηση σε πεπερασμένο σύνολο

Συνάρτηση σε πεπερασμένο σύνολο

Re: Συνάρτηση σε πεπερασμένο σύνολο

Μέλη σε σύνδεση