Συνήθης συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ y^{2}f(x)+x^{2}f(y)+xy = xyf(x+y)+x^{2}+y^{2} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Καταρχήν η αρχική γίνεται $y^2\left(f(x)-1\right)+x^2\left(f(y)-1\right)=xy\left(f(x+y)-1\right)$ δηλαδή
$y^2g(x)+x^2g(y)=xyg(x+y) \ \ (1)$ με g(x)=f(x)-1

.

Για

στην

παίρνουμε

Για

παίρνουμε: 4g(x)+x^2g(2)=2xg(x+2)

δηλαδή $2g(x)+x^2g(1)=xg(x+2) \ \ (2)$

Για y=1

στην

παίρνουμε: $g(x)+x^2g(1)=xg(x+1) \ \ (3)$

Βάζοντας στην (3)

όπου

το

παίρνουμε: $g(x+1)+(x+1)^2g(1)=(x+1)g(x+2) \ \ (4)$

Από την (3)

χρησιμοποιώντας την (4)

παίρνουμε:

$\displaystyle{g(x)=x(x+1)g(x+2)-x(x+1)^2g(1)-x^2g(1)=x(x+1)g(x+2)-(x^3+x^2+x)g(1) \ \ (5)}$

Πολλαπλασιάζουμε την (2)

επί

και αφαιρούμε από την (5)

οπότε τελικά παίρνουμε: (2x+1)g(x)=(2x+1)xg(1)

και τελικά για $x\neq -\displaystyle\frac{1}{2}$ παίρνουμε g(x)=g(1)x

Αν βάλουμε στην αρχική $x=y=-\displaystyle\frac{1}{2}$ παίρνουμε $g\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}g(1)$

Άρα τελικά $g(x)=g(1)x, \ \forall x\in\mathbb{R}$ δηλαδή $\boxed{f(x)=g(1)x+1, \ \forall x\in\mathbb{R}}$

Αλέξανδρος

Συνήθης συναρτησιακή

Συνήθης συναρτησιακή

Re: Συνήθης συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση