Ενδιαφέρουσα συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy+x^2)=f(x)f(y)+f(f^2(x)),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy+x^2)=f(x)f(y)+f(f^2(x)),}$ (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Προφανής λύση είναι η μηδενική. Ψάχνουμε για μη μηδενικές λύσεις.

Για x=0

από την (1) βρίσκουμε ότι $f(0)=f(0)f(y)+f(f^2(0)), \forall y \in \mathbb{R}$

Αν $f(0) \neq 0$ , τότε $c=c^2+c \Rightarrow c=0$ , αδύνατο.

Η (1) για y=0

δίνει $f(x^2)=f(f^2(x)), \forall x \in \mathbb{R}$ (2)

Η (1) για y=-x

δίνει $f(x)f(-x)+f(x^2)=0, \forall x \in \mathbb{R}$ (3)

Αν υπάρχει $x_0 \neq 0$ ώστε f(x_0)=0

, τότε η (1) για x=x_0

δίνει

$f(x_0y+x_0^2)=0, \forall y \in \mathbb{R}$ , άρα $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$ , άτοπο, συνεπώς

$f(x) \neq 0, \forall x \neq 0$

Η (3) για x=-1

δίνει $f(1)f(-1)+f(1)=0 \Rightarrow f(-1)=-1$

Αν στην (1) θέσουμε όπου

το

έχουμε

$f(xy+x+x^2)=f(x)f(1+y)=f(x^2), \forall x,y \in \mathbb{R}$ (4)

Η (4) για y=-x

δίνει

$\Rightarrow f(x)=f(x)f(1-x)+f(x)f(-x), \forall x \in \mathbb{R}$

και για $x \neq 0$ έχουμε 1+f(-x)=f(1-x)

(5)

άρα $f(1+x)=1+f(x), \forall x \in \mathbb{R}$ (6)

Η (1) δίνει f[(-x)(x-1)+x^2]=f(-x)f(x-1)+f(x^2)

$\Rightarrow f(x)=f(-x)f(x-1)+f(x^2), \forall x \in \mathbb{R}$ (7)

(6) $\rightarrow f(x)=1+f(x-1) \Rightarrow f(x-1)=1-f(x)$

Άρα (7) $\rightarrow f(x)=f(-x)\left(f(x)-1\right)-f(x)f(-x) \Rightarrow f(x)=-f(-x)$

Άρα η (3) δίνει $f^2(x)=f(x^2), \forall x \in \mathbb{R}$ (8)

Άρα από τις (6) και (8) από την γνωστή συναρτησιακή που έχουμε συζητήσει βρίσκουμε $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$

που επαληθεύει την αρχική.

#3

Μπορούμε άραγε να προσδιορίσουμε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy+x^2)=f(x)f(y)+f(f^2(x)),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
(Το έθεσα και εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=623190)

Ενδιαφέρουσα συναρτησιακή

Ενδιαφέρουσα συναρτησιακή

Re: Ενδιαφέρουσα συναρτησιακή

Re: Ενδιαφέρουσα συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση